Question

Preciso de ajuda.
Se possível com resolução.

ac1fb2e65066272124cdba83e8cd62c4.docx

Answer 1

Resolver a integral

$\int{\dfrac{1}{x^{2}-4}\,dx}$

pelo método de frações parciais.


Vamos decompor a função racional em frações parciais:

$\dfrac{1}{x^{2}-4}=\dfrac{1}{\left(x-2 \right )\left(x+2 \right )}\\ \\ \dfrac{1}{\left(x-2 \right )\left(x+2 \right )}=\dfrac{C_{1}}{x-2}+\dfrac{C_{2}}{x+2}$


Multiplicando os dois membros da igualdade acima por $\left(x-2 \right )\left(x+2 \right )$, temos

$1=\left(\dfrac{C_{1}}{x-2}+\dfrac{C_{2}}{x+2} \right )\cdot \left(x-2 \right )\left(x+2 \right )\\ \\ 1=\dfrac{C_{1}\cdot \left(x-2 \right )\left(x+2 \right )}{x-2}+\dfrac{C_{2}\cdot \left(x-2 \right )\left(x+2 \right )}{x+2}\\ \\ 1=C_{1}\left(x+2 \right )+C_{2}\left(x-2 \right )$


Para $x=-2$, temos

$1=C_{1}\left(-2+2 \right )+C_{2}\left(-2-2 \right )\\ \\ 1=C_{1}\cdot 0+C_{2}\cdot \left(-4 \right )\\ \\ C_{2}=-\dfrac{1}{4}$


Para $x=2$, temos

$1=C_{1}\left(2+2 \right )+C_{2}\left(2-2 \right )\\ \\ 1=C_{1}\cdot 4+C_{2}\cdot 0\\ \\ C_{1}=\dfrac{1}{4}$


Então, temos que

$\dfrac{1}{x^{2}-4}=\dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x-2}- \dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x+2}\\ \\ \\ \int{\dfrac{1}{x^{2}-4}\,dx}=\int{\left(\dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x-2}-\dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x+2} \right )dx}\\ \\ \\ \int{\dfrac{1}{x^{2}-4}\,dx}=\int{\dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x-2}\,dx}-\int{\dfrac{^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{4}}{x+2} dx}\\ \\ \\ \int{\dfrac{1}{x^{2}-4}\,dx}=\dfrac{1}{4}\int{\dfrac{1}{x-2}\,dx}-\dfrac{1}{4}\int{\dfrac{1}{x+2} dx}\\ \\ \\ \int{\dfrac{1}{x^{2}-4}\,dx}=\dfrac{1}{4}\mathrm{\,\ell n}\left|x-2\right|-\dfrac{1}{4}\mathrm{\,\ell n}\left|x+2\right|+C$