Question

Preciso de ajuda: prove que o triangulo ABC, cujos vértices são A(-1,1), B (1,3) e C( -raiz3, 2+raiz3) é equilatero

Answer 1

Distância entre dois pontos.

Sendo dois pontos $M(x_1,y_1) \ e \ N(x_2,y_2)$ a distância entre os pontos M e N, pode ser calculada pela seguinte relação :

$\fbox{\displaystyle D_{MN} =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 } }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos dá os seguinte pontos que são vértices de um triângulo retângulo

$A(-1,1) \ B(1,3) \ C(-\sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$

A questão pede para provar que é um triângulo equilátero, logo os comprimentos dos lados devem ser iguais, no caso a distância entre os pontos devem ser iguais :

$\fbox{\displaystyle D_{AB} = D_{AC} = D_{BC} }$

Vamos aplicar a distância entre os dois pontos e verificar se são iguais.

1º distância de A(-1,1) para B(1,3).

Pontos :

$x_2 = 1 \ e \ x_1 = -1$

$y_2 = 3 \ e \ y_1 = 1$

substituindo na relação da distância entre os pontos ;

$\fbox{\displaystyle D_{AB} =\sqrt{(1-(-1))^2+(3-1)^2 } \to D_{AB} =\sqrt{2^2 + 2^2} }$

$\fbox{\displaystyle D_{AB} = \sqrt{8} \to D_{AB} = 2\sqrt{2} }$

Agora vamos fazer a distância de A(-1,1) para $C(-\sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$

$\fbox{\displaystyle D_{AC} =\sqrt{(1-\sqrt{3})^2+( 2+\sqrt{3} -1 )^2 } \to D_{AC} =\sqrt{(1-\sqrt{3})^2 + ( 1+ \sqrt{3})^2 } \to }$

vamos fazer os produtos notáveis aqui e dps só substituir

$(1-\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2.1.\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \to 1 + 3 - 2\sqrt{3} = 4 -2\sqrt{3}$

$(1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2.1.\sqrt{3} +(\sqrt{3})^2 \to 1 + 3 + 2\sqrt{3} \to 4 + 2\sqrt{3}$

substituindo :

$\fbox{\displaystyle D_{AC} =\sqrt{(1-\sqrt{3})^2 + ( 1+ \sqrt{3})^2 } \to D_{AC} = \sqrt{4+2\sqrt{3} + 4-2\sqrt{3}} }$

$\fbox{\displaystyle \to D_{AC} = \sqrt{8} \to D_{AC} = 2.\sqrt{2} }$

Agora vamos achar a distância de B(1,3) para $C(-\sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$

$\fbox{\displaystyle D_{BC} =\sqrt{(1-(-\sqrt{3})^2 + (3-(2+\sqrt{3})^2} \to D_{BC} =\sqrt{(1+\sqrt{3})^2 + (1-\sqrt{3})^2} }$

Essa é igualzinha a anterior, portanto :

$\fbox{\displaystyle D_{BC} =\sqrt{(1+\sqrt{3})^2 + (1-\sqrt{3})^2} \to D_{BC} = \sqrt{4+2\sqrt{3} + 4-2\sqrt{3}} }$

$\fbox{\displaystyle D_{BC} =\sqrt{8} \to D_{BC} = 2\sqrt{2} }$

Então :

$\fbox{\displaystyle D_{AB} = D_{AC} = D_{BC} \to 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2\sqrt{2} }$

Provamos que o triângulo é equilátero.