Question

Preciso de ajuda para saber a resposta, me ajudem, por favor....

Answer 1

Resposta:

a) 0,058

Explicação passo a passo:

Se ligarmos os raios dessas circunferências formamos um triângulo isósceles, de que conhecemos todos os lados:

De C1 a C2: 2

De C1 a C3 e de C2 a C3: 1 + $\sqrt{2} -1$ = $\sqrt{2}$

Veja a figura anexa.

Se temos todos os lados, podemos aplicar a lei dos cossenos para achar o cosseno do ângulo entre dois deles, e com isso acharmos todos os ângulos do triângulo.

Assim, usando C2-C3 como lado oposto na lei dos cossenos, temos:

$(\sqrt{2} -1 + 1)^2 = (1+1)^2 + (\sqrt{2} -1 + 1)^2 - 2.((1+1).(\sqrt{2} -1 + 1).cos\alpha \\\\\\(\sqrt{2})^2 = (2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2.(2.\sqrt{2}).cos\alpha \\\\\\2 = 4 + 2 - 4.\sqrt{2}.cos\alpha \\\\-4 = - 4.\sqrt{2}.cos\alpha \\\\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\\\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Sabemos que o ângulo cujo cosseno é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ é 45º. Então com isso achamos todos os outros ângulos. Outro ângulo é 45º (já que o triângulo é isósceles) e outro é 90º, conforme a figura.

Agora que temos todos os ângulos basta calcular a área de cada setor das circunferências pra subtrair da área do triângulo.

Área do setor da circunferência C1:

$A_{setorC1} = \frac{\pi.r^2}{8} \\\\A_{setorC1} = \frac{\pi.1^2}{8} \\\\A_{setorC1} = \frac{\pi}{8} \\A_{setorC1} = 0,125\pi$

Dividimos por 8 pois é a fração que os 45º representam no total dos 360º da área ($\frac{360}{45} = 8$)

A área do setor de C2 é igual ao setor C1.

A área do setor de C3 é:

$A_{setorC3} = \frac{\pi . r^2}{4} \\\\A_{setorC3} = \frac{\pi . (\sqrt{2}-1)^2}{4} \\\\A_{setorC3} = \frac{\pi . (2 + 1 - 2.\sqrt{2})}{4} \\\\A_{setorC3} = \frac{\pi . (3- 2\sqrt{2})}{4} \\A_{setorC3} = \frac{\pi . (3- 2,8)}{4} \\\\A_{setorC3} = \frac{\pi . (0,2)}{4} \\\\A_{setorC3} = 0,05\pi$

Somando as áreas de todos os setores temos:

C1 + C2 + C3 = 0,125π + 0,125π + 0,05π = 0,3π

Aproximando π para 3,14 temos que a área fica 0,3.3,14 = 0,942

Assim, agora basta acharmos a área do triângulo e subtrair desses 0,942.

O triângulo é retângulo, a área é :

$A = \frac{b.h}{2} \\\\A = \frac{(\sqrt{2} -1 + 1) (\sqrt{2} -1 + 1)}{2} \\\\A = \frac{(\sqrt{2}) (\sqrt{2})}{2} \\A = 1$

Então finalmente 1 - 0,942 = 0,058.