Question

Preciso de ajuda para resolver essa derivada, passo a passo, por favor

Answer 1

Resposta:

$\Large\boxed{\dfrac{6x\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)^\frac{5}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função:

$\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{3}{2}}$

Existem diversas maneiras de chegar ao mesmo resultado, porém utilizaremos o método mais comum, para evitar problemas.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, aplique a regra da cadeia e do quociente:

$\dfrac{d}{dx}\left[\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\\\\\\ \dfrac{d}{dx}\left[\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)\right]\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{3}{2}-1}$

Aplique a regra do quociente e some os valores no expoente

$\dfrac{(x^2-1)'\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{1}{2}}$

Aplique a regra da soma e lembre-se que $\Large\boxed{a^{\frac{m}{n}}\Leftrightarrow\sqrt[n]{a^m}}$

$\dfrac{((x^2)'-(1)')\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot((x^2)'+(1)')}{(x^2+1)^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}}$

Calcule a derivada da potência e da constante

$\dfrac{2x\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}}$

Cancele os termos opostos e some os termos semelhantes

$\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}}$

Multiplique as frações, lembrando que $\boxed{\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}}$

$\dfrac{6x\cdot\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)^2\cdot\sqrt{x^2+1}}$

Lembre-se que $\Large\boxed{a^{m+n}\Leftrightarrow a^m\cdot a^n}$

$\dfrac{6x\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)^\frac{5}{2}}$

Esta é a derivada desta função.