Question

PRECISO DE AJUDA NESTA QUESTÃO ALGUÉM PODE ME AJUDA?
QUESTÃO DE PROVA

Answer 1

Temos:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2n + 3}{2n + 1})^{n + 1}\\\\\lim_{n \to \infty} exp(log(\frac{2n + 3}{2n + 1})^{n + 1})\\\\\lim_{n \to \infty} exp((n + 1)log(\frac{2n + 3}{2n + 1}))\\\\exp (\lim_{n \to \infty} ((n + 1)log(\frac{2n + 3}{2n + 1})))\\\\exp (\lim_{n \to \infty} \frac{log(\frac{2n + 3}{2n + 1})}{\frac{1}{n + 1}})$

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0 dentro dos parênteses, podemos aplicar a regra de L'Hôpital:

$exp (\lim_{n \to \infty} \frac{log(\frac{2n + 3}{2n + 1})}{\frac{1}{n + 1}})\\\\exp (\lim_{n \to \infty} \frac{d/dn (log(\frac{2n + 3}{2n + 1}))}{d/dn (\frac{1}{n + 1})})\\\\exp (\lim_{n \to \infty} \frac{4(n+1)^{2}}{(2n +1)(2n + 3)})\\\\exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2}}{(2n +1)(2n + 3)})$

Novamente, temos uma indeterminação dentro dos parênteses. Dessa vez, uma indeterminação do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital mais uma vez:

$exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2}}{(2n +1)(2n + 3)})\\\\exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{d/dn (n+1)^{2}}{d/dn (2n +1)(2n + 3)})\\\\exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{2(n + 1)}{2(2n + 3) + 2(2n + 1)})\\\\exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{8n + 8})\\\\exp (4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4})\\\\exp (4 * 1/4)\\\\exp (1)\\\\e$

Logo:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2n + 3}{2n + 1})^{n + 1} = e$