Question

preciso de ajuda nesta questão

Answer 1

Olá!

$y'(1+x^2)=xy\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}y'=\dfrac{1}{1+x^2}x\Leftrightarrow\displaystyle \int\dfrac{1}{y}dy=\int\dfrac{x}{1+x^2}dx\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \ln{|y|}=\int \dfrac{x}{1+x^2}dx.$

Para a integral da direita, faça a substituição de variável

$u=1+x^2$

e tem que $x\;dx=\frac{1}{2}du.$ Logo,

$\ln{|y|}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1}{u}du=\dfrac{1}{2}\ln{|u|}+k,{\;k\in\mathbb{R}}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \ln{|y|}=\dfrac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+k\Rightarrow |y|= e^{\frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}}\cdot e^k\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow |y|=|1+x^2|^{\frac{1}{2}}\cdot e^k\;\overset{1+x^2>0}{\underset{e^k>0}{\Longrightarrow}}\;\;\;y=e^k\sqrt{1+x^2},{\;k\in\mathbb{R}}.$

Como $e^k\in\mathbb{R}$ é constante, chame $C=e^k$ e tem que

$y=C\sqrt{1+x^2}$

é a solução.

Portanto, resposta (D).

Bons estudos!