Question

Preciso de ajuda nessas questões
Pergunta 8
Se A = log 2 1024 + log 1/5 625 qual é o valor de A
A.7
B.3
C.5
D.6
E.4

Pergunta 9
Determine o valor de x na equação exponencial 2 ^2x + 4 = 3
A.x = 1,208
B.x = 2,301
C.x = 3,208
D.x = -1,208
E.x = -3,208

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Vamos começar do começo :v.

PERGUNTA 2:

Temos que:

$\boxed{\log_{x}(2) = a, \: \log_{x}(3) = b \: \: e \: \: \log_{x}(\sqrt[3]{12} = ? ) }$

Para realizar essa questão vamos usar algumas propriedades de logaritmo e propriedades de radiciação.

Vamos transformar aquela raiz em uma potência através dessa propriedade:

$\boxed{\sqrt[m]{a {}^{n} } = a {}^{ \frac{n}{m} } }$

Aplicando:

$\log_{x}( \sqrt[3]{12} ) \\ \\ \log_{x}(12 {}^{ \frac{1}{3} } )$

Agora vamos usar a propriedade de trazer o expoente para frente do Logaritmo.

$\boxed{ \log_{a}(b {}^{n} ) = n \log_{a}(b) } \\ \\ \log_{x}( 12 {}^{ \frac{1}{3} } ) \\ \\ \frac{1}{3} . \log_{x}(12)$

Sabemos que 12 é igual a (2².3), então vamos substituir no local de 12.

$\frac{1}{3} . \log_{x}(2 {}^{2}.3 )$

Utilizando mais um propriedade de logaritmo, na qual transformamos uma multiplicação em soma.

$\boxed{ \log_{a}(b.c) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) } \\ \\ \frac{1}{3} . \log_{x}(2 {}^{2} .3) \\ \\ \frac{1}{3} . \log_{x }(2 {}^{2} ) + log_{x}(3)$

Usando mais uma vez a propriedade de trazer o expoente para frente do log.

$\frac{1}{3} . \log_{x}(2 {}^{2} ) + \log_{x}(3) \\ \\ \frac{1}{3} . 2 \log(2) + \log(3)$

Substituindo os valores nos seus respectivos locais.

$\boxed{ \frac{1}{3} .2.a + b} \leftarrow \bf{ letra \: b)}$

PERGUNTA 3

Temos que:

$f(1 ) = 5 \: \: e \: \: f ( - 3) = - 7$

Vamos começar deduzindo f(1) = 5.

f(1) = 5 quer dizer que quando o valor de "x" é igual a 1 o resultado é 5, então vamos substituir esse valor na lei de formação f(x) = ax + b.

$f(1) = 5 \\ \\ f(x) = ax + b \\ f(1) \rightarrow a.1 + b = 5 \\ f(1) \rightarrow \boxed{ a + b = 5}$

f(-3) = -7, assim como no f(1) = 5 isso quer dizer que quando o valor de "x" é -3 o resultado é -7.

Substituindo na lei de formação:

$f ( - 3) = - 7 \\ \\ f(x) = ax + b \\ f( - 3) \rightarrow a.( - 3) + b = - 7 \\ f( - 3) \rightarrow \boxed{- 3a + b = - 7}$

Agora devemos pegar esses dois valores e resolver através de um sistema de equações.

$\begin{cases} a + b = 5 \\ - 3a + b = - 7\end{cases}$

Realizando através do método da adição:

$a + b = 5 \\ - 3a + b = - 7.( - 1) \\ \\ a + b = 5 \\ 3a - b = 7 \\ \\ a + b + 3a - b = 5 + 7 \\ 4a = 12 \\ a = \frac{12}{4} \\ \boxed{ a = 3}$

Para achar o valor de "b" basta substituir em uma das duas equações o valor de "a".

$a + b = 5 \\3+ b = 5 \\ b = 5 - 3 \\ \boxed{b = 2}$

Por fim, você deve substituir esses valores na lei de formação.

$a = 3 \: \: \: \: \: b = 2 \\ \\ f(x) = ax + b \\ \boxed{ f(x) = 3x + 2} \leftarrow \bf letra \: e)$

PERGUNTA 4

Temos que:

$( \frac{1}{9} ) {}^{ - 1}$

Para resolver essa fração devemos usar essa propriedade:

$( \frac{a}{b} ) {}^{ - n} = ( \frac{b}{a} ) {}^{n}$

Aplicando:

$( \frac{1}{9} ) {}^{ - 1} = ( \frac{9}{1} ) {}^{ 1} = \boxed{9} \leftarrow \bf letra \: b)$

PERGUNTA 7

b) A presença de letras no expoente de potências.

PERGUNTA 8

Temos que:

$A = \log_{2}(1024) + \log_{ \frac{1}{5} }(625)$

Para resolver essa expressão devemos lembrar da definição de Logaritmo que fala:

"A base elevada ao Logaritmo é igual ao Logaritmando"

Algebricamente:

$\boxed{ \log_{a}(b) = x \longleftrightarrow a {}^{x} = b}$

Vamos aplicar a definição em casa um desses logaritmos.

$\log_{2}(1024) = x \\ \\ 2 {}^{x} = 1024$

Sabemos que 1024 = 2 elevado a 10.

Substituindo:

$2 {}^{x} = 1024 \\ 2 {}^{x} = 2 {}^{10}$

Base iguais na exponencial quer dizer que podemos esquecer elas e resolver o expoente.

$\boxed{x = 10} \\ \\ \text{portanto} : \\ \\ \boxed{ \log_{2}(1024) = 10}$

Fazendo a mesma coisa com o outro logaritmo:

$\log_{ \frac{1}{5} }(625) = x \\ \\ ( \frac{1}{5} ) {}^{x} = 625 \\ \\ 5 {}^{ - x} = 5 {}^{4} \\ \\ - x = 4 \\ \\ \boxed{x = - 4} \\ \\ \text{portanto} \\ \\ \boxed{\log_{ \frac{1}{5} }(625) = - 4}$

Agora é só substituir os valores que descobrimos nos seus respectivos locais.

$A = \log_{2}(1024) + \log_{ \frac{1}{5} }(625) \\ \\ A = 10 + ( - 4) \\ \\ A =1 0 - 4 \\ \\ \boxed{A = 6} \leftarrow \bf letra \: d)$

PERGUNTA 9

Temos a seguinte equação exponencial:

$\boxed{2 {}^{2x + 4} = 3}$

É meio impossível resolvê-la da maneira que está, então vamos aplicar Log nos dois membros.

$\log(2 {}^{2x + 4} ) = \log(3)$

Aplicando a propriedade de trazer o expoente pra frente do Log:

$(2x + 4). \log(2) = \log(3)$

Aplicando a DISTRIBUTIVA:

$2x. \log(2) + 4. \log(2) = \log(3)$

Passando o termo sem incógnita "x" para o segundo membro:

$2x. \log(2) = \log(3) - 4. \log(2) \\ 2 \log(2).x = \log(3) - 4. \log(2)$

Passando o elemento 2Log(2) para o segundo membro dividindo:

$\boxed{x = \frac{ \log(3) - 4. \log(2) }{2. \log(2) } }$

Agora temos que jogar isso na calculadora para saber o valor:

$\boxed{x \approx - 1,208} \leftarrow \bf letra \: d)$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️