Question

Preciso de ajuda nessa questão: Existe um rio que faz um percurso atendendo a função: f(x) = x² – 8x – 48;
2 Existe uma estrada que é indicada pela função: g(x) = x + 10.


Com base nas informações anteriores e no que estudou na disciplina, faça o que se pede:

a) Represente o rio e a estrada no mesmo plano cartesiano, dentro do intervalo [–4; 12].

b) Determine a área da região limitada pelo rio, estrada e pelas retas x = –2 e x = 11. Nesse caso, apresente o valor da área acompanhado por u.a.

c) Para complementar as informações, apresente H(x), uma função primitiva de , sendo H (1) = 2 .

Answer 1

O gráfico representando a região encontra-se na figura abaixo, a área da região vale, aproximadamente, 834,17 u.a. e a função primitiva pela integral é dada por:

$H(x)=-\dfrac{1}{32x^2(x^3-2)^2}+\dfrac{65}{32}$

Integral Definida e Indefinida

a) Para construir o gráfico das funções que representam o rio e a estrada basta escolher alguns valores convenientes:

$f(x)=x^2-8x-48$ é uma parábola com a concavidade para cima e que possui raízes $-4$ e $12$.

$g(x)=x+10$ é uma reta crescente cortando os eixos $OX$ em $-10$ e $OY$ em $10$.

b) Para obtermos a área da região entre as vamos aplicar a integral definida:

$A(x)=\int\limits_a^b {[f(x)-g(x)]} \, dx$

Onde $f(x)$ é a função acima da função $g(x)$.

Na questão temos que calcular a seguinte integral:

$A(x)=\int\limits_a^b {[g(x)-f(x)]} \, dx$

$A(x)=\int\limits_{-2}^{11} {[-x^2+9x+58]} \, dx$

$A(x)=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{9x^2}{2}+58x\right]_{-2}^{11}\\\\\\A(x)=\left[-\dfrac{11^3}{3}+\dfrac{9\cdot 11^2}{2}+58\cdot 11\right]-\left[-\dfrac{(-2)^3}{3}+\dfrac{9\cdot (-2)^2}{2}+58\cdot (-2)\right]\\\\\\A(x)\approx 834,17 \ u.a.$

c) Uma função primitiva $F(x)$ é uma das funções que ao ser derivada fornece a função $f(x)$, ou seja, integrando a função $f(x)$ obtemos uma primitiva $F(x)+c$, onde $c$ é a constante de integração que pode ser calculada se tivermos um ponto qualquer da função.

$\int f(x) \ dx=F(x)+c$

$\int \dfrac{2x^3-1}{(2x^4-4x)^3} \ dx$

Calculando a integral acima pelo método da substituição temos:

Fazendo,

$u=2x^4-4x\\\\du=(8x^3-4) \ dx\\\\dx=\dfrac{1}{4(2x^3-1)} \ du$

Substituindo na integral

$\int \dfrac{2x^3-1}{u^3}\cdot \dfrac{1}{4(2x^3-1)} \ du=$

$=\dfrac{1}{4}\cdot \int u^{-3}\ du$

$=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{-2}}{(-2)}+c$

$=-\dfrac{1}{8(2x^4-4x)^2}+c\\\\\\=-\dfrac{1}{32x^2(x^3-2)^2}+c$

Obtemos assim,

$H(x)=-\dfrac{1}{32x^2(x^3-2)^2}+c$

Substituindo o ponto (1,2) temos:

$2=-\dfrac{1}{32}+c\\\\c=\dfrac{65}{32}$

Por fim temos a função

$H(x)=-\dfrac{1}{32(x^4-2x)^2}+\dfrac{65}{32}$

Para saber mais sobre Integração acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/50103040

https://brainly.com.br/tarefa/49094831

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