Question

Preciso de ajuda nessa equação logarítmica log2 (5x-2) - log2 (x) - log2 (x-1)=2.

Answer 1

$\mathrm{\ell og}_{2\,}(5x-2)-\mathrm{\ell og}_{2\,}(x)-\mathrm{\ell og}_{2\,}(x-1)=2$


$\bullet\;\;$ Encontrar as condições de existência dos logaritmos:

As bases dos logaritmos devem ser positivas e diferentes de $\mathbf{1};$

O logaritmandos devem ser positivos:

$5x-2>0\;\;\text{ e }\;\;x>0\;\;\text{ e }\;\;x-1>0\\ \\ 5x>2\;\;\text{ e }\;\;x>0\;\;\text{ e }\;\;x>1\\ \\ x>\frac{2}{5}\;\;\text{ e }\;\;x>0\;\;\text{ e }\;\;x>1\\ \\ \Rightarrow\;\;x>1$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação:

$\mathrm{\ell og}_{2\,}(5x-2)-\mathrm{\ell og}_{2\,}(x)-\mathrm{\ell og}_{2\,}(x-1)=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{2\,}(5x-2)-\left[\mathrm{\ell og}_{2\,}(x)+\mathrm{\ell og}_{2\,}(x-1) \right ]=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{2\,}(5x-2)-\mathrm{\ell og}_{2\,}[x\,(x-1)]=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{2}\left[\dfrac{5x-2}{x\,(x-1)} \right ]=2$


Aplicando a definição de logaritmo na última linha acima, temos

$\dfrac{5x-2}{x\,(x-1)}=2^{2}\\ \\ \\ \dfrac{5x-2}{x\,(x-1)}=4\\ \\ \\ 5x-2=4x\,(x-1)\\ \\ 5x-2=4x^{2}-4x\\ \\ 0=4x^{2}-4x-5x+2\\ \\ 4x^{2}-9x+2=0\\ \\ 4x^{2}-x-8x+2=0\\ \\ x\,(4x-1)-2\,(4x-1)=0\\ \\ (4x-1)\,(x-2)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} 4x-1=0&\;\text{ ou }\;&x-2=0\\ \\ 4x=1&\;\text{ ou }\;&x=2\\ \\ x=\frac{1}{4}\;(\text{n\~{a}o serve})&\;\text{ ou }\;&x=2 \end{array}$


A única solução que satisfaz as condições de existência dadas inicialmente $(x>1)$ é

$x=2$


O conjunto solução é

$S=\{2\}$