Question

Preciso de ajuda!
Estou com duvidas nesta questão envolvendo funções mais especificamente fog e gof. (vou anexar a foto com a questão que estou com dificuldades)

Answer 1

Começamos por calcular o lado esquerdo da igualdade. Tem-se:

$(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(cx+d) = a (cx+d)+b.$

Do mesmo modo, para o lado direito da igualdade, vem:

$(g\circ f)(x) = g[f(x)] = g(ax+b)=c(ax+b)+d.$

Igualando as duas expressões anteriores e aplicando a propriedade distribuitiva, tem-se:

$a (cx+d)+b=c(ax+b)+d \iff acx + ad + b = cax + cb + d.$

Notando que o primeiro termo de cada lado da igualdade cancela, podemos rearranjar os restantes termos e fatorizar:

$ad + b = cb + d \iff ad - d = cb - b \iff d(a-1) = b(c-1).$

Fica assim provado que

$(f\circ g)(x) = (g \circ f)(x) \iff d(a-1) = b(c-1).$

Uma vez que tanto $f$ quanto $g$ têm domínio $\mathbb{R}$, tem-se que também $f\circ g$ e $g \circ f$ têm também domínio $\mathbb{R}$, pelo que se pode finalmente obter:

$f\circ g = g \circ f \iff d(a-1) = b(c-1),$

como queríamos mostrar.