Question

Preciso de ajuda em questões de limites
$lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(+)\\\\lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(-)$Preciso de ajuda em questões de limites

Answer 1

Temos os seguintes limites:

$\blue\bullet\sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\blue\bullet\\ \\ \orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\orange\bullet$

Nesse caso vamos trabalhar com os limites laterais. Para não embaralhar tudo vamos resolver bem vagarosamente pra entendermos tudo.

• Vamos começar analisando o limite a qual o "x" tende pela direta do número "4".

$\blue\bullet\sf \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\blue\bullet$

O limite tender a número a direta de 4 quer dizer que "x" deve ser um número maior que "4", portanto:

$\sf x > 4 \: \: \: \therefore \: \: \: x - 4 > 0$

• Com isso podemos ver que x - 4 será maior que "0" para valores que estejam a direta de "4". Como esse valor está se aproximando pela direta de "4" quer dizer então que ele está tendendo a "0" pela direita.

Tendo entendido isso, vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} \\ \\ \sf \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} = \frac{3 - 4}{(4 + 2).(4 - 4)} = \frac{ - 1}{6.0} = \frac{ - 1}{0}$

• Deduzimos ali em cima que esse denominador tende a "0" pela direita e de fato tende mesmo, portanto devemos lembrar que quando o número tende a um valor fixo (-1) divido por "0", isso tende a ± ∞, como o nosso denominador tende a "0" pela direta, teremos então que:

$\sf \frac{ - 1}{0 {}^{ + } } = - \infty$

Nessa divisão aplicas-se o jogo dos sinais, pois como o denominador tende a valores positivos e o numerador a valores negativos teremos um jogo de sinais.

• Do mesmo jeito que fizemos com o limite tendendo a "4" pela direta, faremos com o limite tendendo a "4" pela esquerda.

$\orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} \orange\bullet$

O limite tende a valores a esquerda de "4", ou seja, a valores menores que ele, portanto:

$\sf x < 4 \: \: \: \therefore \: \: \: x - 4 < 0$

• Dessa vez o x - 4 será menor que "0" para valores de "x" que tendam a valores a esquerda de que "4", agora esse "x" se aproxima de "4" pela esquerda, ou seja, tende a "0" pela esqueda.

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} \\ \\ \sf\frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} = \frac{3 - 4}{(4 + 2).( 4- 4)} = \frac{ - 1}{6.0 } = \frac{ - 1}{0}$

• No mesmo princípio do cálculo anterior deduzimos que esse denominador tende a "0" pela esquerda, portanto:

$\sf \frac{ - 1}{0 {}^{ - } } = + \infty$

Por fim podemos concluir que se os limites laterais não são iguais, logo o limite bilateral não existirá.

$\begin{cases} \blue\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} = - \infty \blue\bullet\\ \\\orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} = + \infty\orange\bullet \end{cases} \Longrightarrow \red{\sf \nexists \lim_{ x \rightarrow 4} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} }$

Espero ter ajudado