Question

Preciso de ajuda em calcular EDO (EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM
O valor de y (2), em que y (x) é a solução do problema de valor inicial y' - 2xy=0, com y (3) = e, é igual a e elevado a ....
a) 0
b) - e
c) -4
d) 2
e) 1

Answer 1

Vamos desenvolver a equação dada:

$y'-2xy=0\\\\y'=2xy\\\\\dfrac{y'}{y}=2x$

Logo, a equação é separável. Continuando a desenvolvê-la:

$\dfrac{y'}{y}=2x\\\\\displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=\int 2x\,dx\\\\\displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=2\int x\,dx\\\\\ln(y)=2\cdot\dfrac{x^2}{2}+C\\\\\ln(y)=x^2+C~~(i)$

Usando a condição $y(3)=e$ em (i), podemos descobrir o valor da constante:

$\ln(y)=x^2+C\\\\\ln(e)=3^2+C\\\\1=9+C\\\\C=-8$

Substituindo o valor obtido acima na expressão (i):

$\ln(y)=x^2+C\\\\\ln(y)=x^2-8\\\\\underline{\overline{y(x)=e^{x^2-8}}}$

Agora podemos descobrir o valor de $y(2)$:

$y(x)=e^{x^2-8}\\\\y(2)=e^{2^2-8}\\\\y(2)=e^{4-8}\\\\\boxed{y(2)=e^{-4}}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{C.}$