Question

Preciso de ajuda!!!!
Determine a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A (3, 5, 4) e B
(2, 7, 2) e verifique se os pontos C (2, 7, 2) e D(1, 5, 2) pertencem a r.

Answer 1

Resposta:

vetor direcional

AB=(2-3 , 7-5, 2-4)=(-1,2,-2)

Equação Vetorial

(x,y,z) =(3,5,4)+t * (-1,2,-2)   t ∈ Reais

verificando C(2,7,2)

2=3-t ==>t=1

7=5+2t ==> t=1

2=4-2t ==> t=1   ...os três são iguais C(2,7,2) ∈ a r

Verificando D(1, 5, 2)

1=3-t ==>t=2

5=5+2t ==> t=0

2=4-2t ==> t=1   ...os três são diferentes , basta um ser diferente, não ∈ R

Answer 2

✅ Sejam os pontos pertencentes a uma determinada reta no espaço tridimensional:

          $\Large\begin{cases}A(3, 5, 4)\\B(2, 7, 2) \end{cases}$

Para obtermos a equação vetorial da reta devemos ter um ponto pertencente à mesma e o vetor diretor da reta. Então, devemos:

• Encontrar o vetor diretor da reta:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \vec{AB} \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= B - A \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2, 7, 2) - (3, 5, 4) \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2 - 3, 7 - 5, 2 - 4) \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-1, 2, -2) \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (-1, 2, -2) \end{gathered}$

• Montar a equação vetorial da reta utilizando a seguinte estratégia:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{AP} = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}P - A = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A + \lambda\vec{v} \end{gathered}$

         Se "P" é um ponto genérico de "r", então:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = (x, y, z) \end{gathered}$

         Então, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R} \end{gathered}$

Portanto, a equação vetorial da reta "r" é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y, z) = (3, 5, 4) + \lambda(-1, 2, -2) \end{gathered}$

Agora, para verificarmos se um dado ponto pertence à uma determinada reta em sua forma vetorial, devemos resolver o seguinte sistema:

                     $\Large\begin{cases}x = x_{p} + \lambda x_{\vec{v}}\\y = y_{p} + \lambda y_{\vec{v}}\\z = z_{p} + \lambda z_{\vec{v}} \end{cases}$

Então:

• Verificando se C(2, 7, 2) pertence à reta "r":

        $\Large\begin{cases}2 = 3 + \lambda\cdot(-1)\\7 = 5 + \lambda\cdot2\\2 = 4 + \lambda\cdot(-2) \end{cases}\:\:\:\Large\Longrightarrow\:\:\:\Large\begin{cases}\lambda = 1\\\lambda = 1\\\lambda = 1 \end{cases}$

       Como os três "λ" resultaram no mesmo valor, então:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}C \in r \end{gathered}$

• Verificando se D(1, 5, 2) pertence à reta "r".

         $\Large\begin{cases}1 = 3 + \lambda\cdot(-1)\\5 = 5 + \lambda\cdot2\\2 = 4 + \lambda\cdot(-2) \end{cases}\:\:\:\Large\Longrightarrow\:\:\:\Large\begin{cases}\lambda = 2\\\lambda = 0\\\lambda = 1 \end{cases}$

         Como os três "λ" resultaram em valores diferentes, então:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}D\notin\:r \end{gathered}$

          OBS: Basta apenas um dos valores de "λ" ser diferente que o referido ponto não pertence à reta.

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/16531145
2. https://brainly.com.br/tarefa/2893654
3. https://brainly.com.br/tarefa/22495164