Question

PRECISO DE AJUDA COM ESTA!

Demonstre, por definição, que $\lim_{n \to\ -3} \frac{1}{(x + 3) ^{4} } = Infty$

PS: Segue um anexo para melhor visualização

Answer 1

Olá Vitor.


Em limites onde o denominador acaba ficando igual a 0, o que deve ser analisado serão os limites laterais. 

$\mathsf{ \lim_{x \to -3^+} \dfrac{1}{(x+3)^4} }\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1}{(-3^++3)^4}}\\\\=\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{0^+}=\infty}}$

Acima iremos substituir por x por um valor muito próximo de -3 tendendo pela direita, portanto o resultado será um valor muito próximo de 0. E um número qualquer dividido por outro muito pequeno tende ao infinito.

Analisando o limite lateral quando x tende a -3 pelo lado esquerdo.

$\mathsf{ \lim_{x \to -3^-}\dfrac{1}{(x+3)^4}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1}{(-3^-+3)^4}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1}{(-0)^4}}\\\\=\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{0}=\infty}}$

Nesse último caso o denominador ficou 0 negativo, mas como está elevado a quarta potência ele passará a ser positivo.

Como os limites laterais são iguais o limite de x tendendo a -3 existe.

$\large\boxed{\mathsf{\lim _{x\to-3}=\infty}}$


Dúvidas? comente.