Question

Preciso de ajuda com essas questões

Answer 1

Temos a seguinte função que possui algumas restrições:

$a) \: f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{2} - 4}{x - 2} \: \: \: \text{para} \: \: x \neq 2 \\ 5 \: \: \text{ para }\: \: x = 2\end{cases}$

Vamos lembrar das condições para a continuidade ser cumprida:

$1) \: f(x) \rightarrow definida \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 2)\lim_{x \rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow a {}^{ - } }f(x) \\ \\ 3)\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

❑ Restrição 1):

$f(2) = 5$

Esse valor é definido pois nas restrições, sabemos que o sinal de igualdade indica definição.

❑ Restrição 2):

$\lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } }f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } } \frac{x {}^{2} - 4 }{x - 2} = \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } } \frac{x {}^{2} - 4 }{x - 2} \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } } \frac{(x + 2).(x - 2)}{(x - 2)} = \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } } \frac{(x + 2).(x - 2)}{(x - 2)} \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } } ( x+ 2)= \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } }(x + 2) \\ \\ 2 + 2 = 2 + 2 \\ \\ \boxed{4 = 4} \rightarrow \exists\lim_{x \rightarrow2} f(x)$

❑ Restrição 3:

$\lim_{x \rightarrow2}f(x) = f(x) \\ \\ 4 = 5$

• Como os valores não são iguais, podemos dizer que essa função é descontínua em x = 2.

Já no item b) farei mais rápido, pois parte do mesmo princípio:

$b) \: f(x) = \begin{cases}x + 2 \: \: para \: \: x < 1 \\ 3 \: \: para \: \: x = 1 \\ - x \: \: para \: \: x > 1 \end{cases}$

❑ Restrição 1:

$f(1) = 3$

❑ Restrição 2:

$\lim_{x \rightarrow1 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow1 {}^{ - } }f(x) \\ \\ \lim_{x \rightarrow1 {}^{ + } } - x = \lim_{x \rightarrow1 {}^{ - } }x + 2 \\ \\ - 1 = 1 + 2 \\ \\ - 1 = 3$

• Os valores são diferentes, então podemos dizer que a função é descontínua em x = 1.

Espero ter ajudado