Question

preciso de ajuda.Calcule a área sombreada.
esse número que n dar pra ver do lado esquerdo é número 2 , e o outro do lado direito é y=x sobre 3

Answer 1

$\sf y = \frac{x {}^{3} }{3} - x \: \: \: e \: \: \: y = \frac{x}{3}$

• Intersecção entre as funções:

$\sf \frac{x {}^{3} }{3} - x = \frac{x}{3} \longleftrightarrow x.(x {}^{2} - 4) = 0 \\ \\ \sf \begin{cases} \sf x_1 = 0 \\ \sf x_2 = 2 \\ \sf x_ 3 - 2\end{cases} \begin{cases} \sf y_1 =0 \\ \sf y _2 = \frac{2}{3} \\ \sf y_3 = - \frac{ 2}{3} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \sf P(0,0) \\ \sf P(2, \frac{2}{3} ) \\ \sf P(-2, - \frac{2}{3}) \end{cases}$

• Integral de -2 a 0:

$\sf \int \limits_{a}^{b} f(x) - g(x) \: dx$

Sendo f(x) a função acima e g(x) a função abaixo, então no intervalo de -2 a 0, podemos dizer que:

$\sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{x {}^{3} }{3} - x - \frac{x}{3} dx \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{x {}^{3} }{3 } + \frac{ - 3x - x}{3} dx \\ \\ \sf \sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{ - 4x}{ 3} dx \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{x {}^{3} }{3} - \frac{4x}{3} dx \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos abrir essa subtração de funções em três integrais:

$\sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{x {}^{3} }{3} dx - \sf \int \limits_{ - 2}^{0} \frac{4x}{3} dx$

Removendo os números que são constantes de dentro da integral:

$\sf \frac{1}{3} \sf \int \limits_{ - 2}^{0} x {}^{3} - \sf \frac{4}{3} \int \limits_{ - 2}^{0} x$

Lembrando da regra da potência para integrais:

$\boxed{ \boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando a tal propriedade:

$\sf \frac{1}{3} . \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} \bigg| _{ - 2}^{0} - \frac{4}{3}. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \bigg| _{ - 2}^{0} \\ \\ \sf \frac{1}{3} . \frac{x {}^{4} }{4} \bigg| _{ - 2}^{0} - \frac{4}{3} . \frac{x {}^{2} }{2} \bigg| _{ - 2}^{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{12} - \frac{4x {}^{2} }{6} \bigg| _{ - 2}^{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{12} - \frac{2x {}^{2} }{3} \bigg| _{ - 2}^{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para encontrar os valores de fato, devemos usar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \sf \int \limits_{ a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \sf F(b) - F(a) = \bigg| _{ a}^{b} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando o teorema:

$\sf \frac{x {}^{4} }{12} - \frac{2x {}^{2} }{3} \bigg| _{ - 2}^{0} = \frac{ {0}^{4} }{12} - \frac{2.0x {}^{2} }{3} - \frac{ ( - 2){}^{4} }{12} + \frac{2.(- 2) {}^{2} }{3} \\ \\ \sf 0 - 0 - \frac{16}{12} + \frac{8}{3} = \frac{ - 48 +96 }{36} = \frac{48}{36} = \boxed{ \sf \frac{4}{3} }$

• Integral de 0 à 2:

$\sf \sf \int \limits_{ 0}^{2} \frac{x}{3} - \left( \frac{x {}^{3} }{3} - x \right)dx \: \: \: \\ \\ \sf \sf \int \limits_{ 0}^{2} \frac{x }{3} - \frac{x {}^{3} }{3} + x \: dx \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \int \limits_{ 0}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{4x}{3} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \int \limits_{0}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + \sf \int \limits_{0 }^{2} \frac{4x } { 3} dx \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf - \frac{1}{3} \int \limits_{ 0}^{2} x {}^{3} + \frac{4}{3} \sf \int \limits_{ 0}^{2} x \\ \\ \sf - \frac{ 1 }{3} .\frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} \bigg| _{ 0}^{2} + \frac{4}{3} . \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \bigg| _{ 0}^{2} \\ \\ \sf - \frac{x {}^{4} }{12} + \frac{4x {}^{2} }{6} \bigg| _{0}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:

$\sf - \frac{(2) {}^{4} }{12} + \frac{4.(2) {}^{2} }{6} - \left( - \frac{( 0) {}^{4} }{12} + \frac{4.(0) {}^{2} }{6} \right) \\ \\ \sf - \frac{16}{12} + \frac{16}{6} = \frac{ - 96 + 192}{72} = \frac{96}{72} = \boxed{\sf\frac{4}{3} }$

• Integral de 2 à 3:

$\sf \sf \int \limits_{ 2}^{3} \frac{x {}^{3} }{ 3} - x - \frac{x}{3}dx$

Como já fizemos essa integração, vamos apenas copiar o resultado da integração, que é:

$\sf \frac{x {}^{4} }{12} - \frac{2x {}^{2} }{3} \bigg| _{ 2}^{3}$

Aplicando o Teorema fundamental:

$\sf \frac{3 {}^{4} }{12} - \frac{2.(3) {}^{2} }{3} - \frac{(2) {}^{4} }{12} + \frac{2.(2) {}^{2} }{3} \\ \sf \\ \sf \frac{81}{12} - \frac{18}{3} - \frac{16}{12} + \frac{8}{3} = \frac{65}{12} - \frac{10}{3} = \\ \\ \sf= \frac{195 - 120}{36} = \frac{75}{36} = \boxed{\sf\frac{25}{12} }$

Agora é só somar as três áreas encontradas:

$\sf \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{25}{12} = \frac{8}{3} + \frac{25}{12} = \frac{96 + 75}{36} = \frac{171}{36} = \boxed{\sf \frac{19}{4} }$

Espero ter ajudado