Question

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​Apresente a equação algébrica da elipse abaixo. Identifique os focos, centro, vértices, semieixo maior, semieixo menor, semi distância focal, eixo maior, eixo menor e a distância focal da elipse abaixo.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Equação da elipse: x²/25 + y²/4 = 1, focos em (±√21, 0), centro em (0,0), vértices em (±5, 0) e (0, ±2), a = 5, A = 10, b = 2, B = 4, c = √21 e C = 2√21. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a equação reduzida da elipse e as relações entre os semi-eixos.⠀⭐⠀

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                            $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf a }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices A₁ e A₂ (também chamado de semi-eixo maior) - lembrando que pela definição de elipse a soma da distância de qualquer ponto da elipse até o foco 1 com a distância de deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf b }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices B₁ e B₂ (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf (x_0, y_0) }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Coordenadas do centro O da elipse.  

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                 $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier{0}(-4,0)(-3.7,2.7)(0,3)\bezier{0}(0,3)(3.7,2.7)(4,0)\bezier{0}(4,0)(3.7,-2.7)(0,-3)\bezier{0}(-4,0)(-3.7,-2.7)(0,-3)\put(-3,0){\circle*{0.13}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(-4,0){\circle*{0.13}}\put(4,0){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0.5,0.5){\LARGE \sf O }\put(-4.6,-0.8){\LARGE \sf A_1 }\put(4.2,-0.8){\LARGE \sf A_2 }\put(0.3,-3.8){\LARGE \sf B_1 }\put(0.3,3.6){\LARGE \sf B_2 }\put(-3.2,0.6){\LARGE \sf F_1 }\put(2.8,0.6){\LARGE \sf F_2 }\put(-3.95,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad\qquad~~} }\put(-2.1,-1.1){\LARGE \sf a }\put(0,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad~~~} }\put(1.3,-1.1){\LARGE \sf c }\put(-0.6,1.35){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-1,1.3){\LARGE \sf b }\bezier{30}(0,3)(1.5,1.5)(3,0)\put(1.9,1.5){\LARGE \sf a }\put(-5,-8){\dashbox{0.1}(10,2.5){\huge \sf D_{A_1A_2} = 2 \cdot a = D_{F_1P} + D_{F_2P} }}\put(-5,-11){\dashbox{0.1}(6,2.5){\huge \sf a^2 = b^2 + c^2 }}\put(2,-11){\dashbox{0.1}(3,2.5){\huge \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                            $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa primeira conclusão: o centro da elipse está na origem do plano pois (x₀, y₀) = (a₁/2 - a₂/2, b₁/2 - b₂/2) = (-2.5 + 2.5, -1 + 1) = (0,0). ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa segunda conclusão: o eixo-maior A vale 10 e o eixo-menor B vale 4, ou seja os semi-eixos a e b são:  

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$\blue{\LARGE\begin{cases}\sf~a = \dfrac{10}{2} = 5\\\\\sf~b = \dfrac{4}{2} = 2\end{cases}}$  ✅⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Disto extraímos que a semi-distância focal é de:

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$\huge\blue{\sf c = \sqrt{5^2 - 2^2}}$

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$\huge\blue{\sf c = \sqrt{25 + 4}}$

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$\huge\blue{\sf c = \sqrt{21}}$  ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja, sua distância focal é de 2√21. Conhecendo c podemos agora encontrar os focos da elipse que, estando sobre o eixo x, estão em (±c, 0), ou seja, em (√21, 0) e (-√21, 0). ✅  

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim a equação desta elipse é:

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                                    $\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4}}~\pink{=}~\blue{1  }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/47714596 ✈  

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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