Question

preciso de ajuda alguem pode me ajudar com este exercicio

3) Sabendo que para se resolver uma integral por parte se deve utilizar a seguinte formula:∫u . dv = u . v -∫ v . du
Diante disso calcule a seguinte integral utilizando o método da integração por partes.
a) ∫ xlnxdx =

Answer 1

Boa tarde Silva!

Solução!

$\displaystyle \int (xlnx)dx\\\\\\ Fazendo!\\\\\\ u=lnx~~~~dv=xdx\\\\\ du= \frac{1}{x}dx~~~~~~v= \frac{ x^{2} }{2}$

$\boxed{\displaystyle \int udv=uv-\displaystyle\int vdu}\\\\\\\\ \displaystyle \int (xlnx)=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \displaystyle \int \frac{ x^{2} }{2}.\frac{1}{x}dx \\\\\\\ Simplificando!\\\\\\\ \displaystyle \int (xlnx)=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \displaystyle \int \frac{ x }{2}dx \\\\\\\ \displaystyle \int (xlnx)=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \frac{1}{2} \displaystyle \int (x)dx$


$\displaystyle \int (xlnx)=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \frac{1}{2}. \frac{ x^{2} }{2} +c \\\\\\\ \displaystyle \int (xlnx)=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \frac{ x^{2} }{4} +c \\\\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:\displaystyle \int (xlnx)dx=lnx. \frac{ x^{2} }{2}- \frac{ x^{2} }{4} +c}$



Boa tarde!
Bons estudos!

Answer 2

Vejamos:
u = x  du = x²/2
 v = lnxdx     dv = 1/xdx

∫(xlnx)dx = x²lnx-∫(xlnx-x)dx=x²lnx-∫xdx = 2∫xlnx=x²lnx - x²/2=  x²/2(lnx)-x²/4