Question

Preciso da resposta logo! Agradeço desde já.

Obtenha três números em P.A., tais que sua soma seja 12 e seu produto -80.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anzzolin, que a resolução é simples.
Como os três números estão em PA, então vamos chamá-los assim:

1º número: x-r
2º número: x
3º número: x+r.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como a soma é igual a "12", então teremos:

x-r + x + x+r = 12 ----- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
3x = 12
x = 12/3
x = 4 <--- Veja que já encontramos o valor de "x".

ii) Agora vamos para o produto desses três números, que vai ser igual a "-80". Assim:

(x-r)*x*(x+r) = - 80 ------ substituindo-se "x" por "4", temos:
(4-r)*4*(4+r) = - 80 ---- como a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos escrever assim:

4*(4-r)*(4+r) = = 80 ----- veja que (4+r)*(4-r) = 4² - r² = 16 - r². Assim:
4*(16 - r²) = - 80 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:
64 - 4r² = - 80 ----- vamos passar o "64" para o 2º membro, ficando:
- 4r² = - 80 - 64
- 4r² = - 144 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
4r² = 144
r² = 144/4
r² = 36
r = +-√(36) ------ como √(36) = 6, teremos:
r = +-6 ---- ou seja, a razão (r) poderá ser "6" ou "-6".

iii) Como já temos que x = 4 e que "r" poderá ser "6" ou "-6", então os três números em PA serão os mesmos, mas encontraremos uma PA crescente no caso de r = 6 e uma PA decrescente no caso de r = - 6, mas ambas com os mesmos termos.
Veja:

iii.a) Para x = 4 e r = 6, teremos;

1º número: x - r ----> 4 - 6 = - 2
2º número: x ----------------> = 4
3º número: x + r ----> 4+6 = 10

Assim, para x = 4 e r = 6, a PA seria esta:

(-2; 4; 10) <---- Seria uma PA crescente.

iii.b) Para x = 4 e r = -6, teremos:

1º número: x-r ---> 4-(-6) = 4+6 = 10
2º número: x ----------------------> = 4
3º número: x+r --> 4+(-6) = 4-6 = - 2

Assim, para x = 4 e r = -6, a PA seria esta:

(10; 4; -2) <--- Seria uma PA decrescente.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.