Question

Preciso da resposta da equação derivada pela definição utilizando o limite:


g(x)=x²

Answer 1

Resposta:

Olá!

Explicação passo-a-passo:

Dada uma função f de A ⊂ R em R, chama-se derivada de f em x = p (símbolo: f'(p)) o valor do seguinte limite:

$\huge{\boxed{{\lim_{x \to p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}}}}$

Neste caso, nosso objetivo é calcular a derivada da função g(x) = x² (função quadrática) usando a definição.

Resolvendo o exercício:

Substituindo os valores:

$g'(p) = \lim_{x \to p} \frac{g(x)-g(p)}{x-p} \\ \\ g'(p) = \lim_{x \to p} \frac{{x}^{2}-{p}^{2}}{x-p}$

No numerador da fração, temos uma diferença entre quadrados, no caso, entre x² e p². Fatorando:

$g'(p) = \lim_{x \to p} \frac{(x + p) \cancel{(x - p)}}{ \cancel{x-p}} \\ \\ g'(p) = \lim_{x \to p} (x + p)$

Agora, podemos calcular o valor do limite substituindo x pelo valor a qual ele tende, no caso, p.

$g'(p) = \lim_{x \to p} (x + p) = p + p = 2p \\ \\ g'(p) = 2p$

Usando uma notação genérica:

$\huge{\boxed{\boxed{g'(x) = 2x}}}$

Espero ter ajudado :)