Question

Preciso da resolução somente da letra e.

e) log √8a²b³ com base 2

Answer 1

Propriedades de radiciação utilizadas:

$\bullet\,\,\mathsf{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\\\\bullet\,\,\mathsf{\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}}$

Propriedades de logaritmo utilizadas:

$\bullet\,\,\mathsf{log_{b}b=1}\\\\\bullet\,\,\mathsf{log_{b}x^{n}=n\cdot log_{b}x}\\\\\bullet\,\,\mathsf{log_{b}(x\cdot y)=log_{b}x+log_{b}y}$
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Queremos calcular $\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}}$

Sabemos que $\mathsf{\sqrt{8a^{2}b^{3}}=\sqrt{8}\cdot\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{b^{3}}=\sqrt{8}\cdot a\cdot b^{3/2}}$

Então

$\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=log_{2}\big(\sqrt{8}\cdot a\cdot b^{3/2}\big)}\\\\\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=log_{2}\sqrt{8}+log_{2}a+log_{2}b^{3/2}}\\\\\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=log_{2}\sqrt{8}+log_{2}a+\frac{3}{2}\cdot log_{2}b}$

Calculando $\mathsf{log_{2}\sqrt{8}}$:

$\mathsf{log_{2}\sqrt{8}=log_{2}8^{1/2}=\dfrac{1}{2}\cdot log_{2}\,8=\dfrac{1}{2}\cdot log_{2}2^{3}=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot log_{2}2=\dfrac{3}{2}\cdot1=\dfrac{3}{2}}$

Concluímos que:

$\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=log_{2}\sqrt{8}+log_{2}a+\frac{3}{2}\cdot log_{2}b}\\\\\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=\frac{3}{2}+log_{2}a+\frac{3}{2}\cdot log_{2}b}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{log_{2}\sqrt{8a^{2}b^{3}}=\frac {3}{2}\cdot(1+log_{2}b)+log_{2}a}}}$

Answer 2

Olá

Temos a seguinte expressão

$\log_2(\sqrt[2]{8a^2b^3})$

Para simplificar, podemos transformar a raiz em um expoente

$\log_2((8a^2b^2)^{\frac{1}{2}})$

Transforme este expoente em um coeficiente da expressão

$\dfrac{1}{2}\cdot \log_2(8a^2b^3)$

Separe o logaritmo do produto em uma soma do logaritmo dos fatores

$\dfrac{1}{2}\cdot (\log_2(8)+\log_2(a^2)+\log_2(b^3}))$

Então, simplifique os argumento em uma só potência

$\dfrac{1}{2}\cdot (\log_2(2^3)+\log_2(a^2)+\log_2(b^3}))$

Transforme todos os expoentes dos argumentos em coeficientes e os logaritmos simplificáveis

$\dfrac{1}{2}\cdot (3 + 2\cdot \log_2(a) + 3\cdot\log_2(b))$

Multiplique os valores pelo fator externo, aplicando a distributiva

$\dfrac{1}{2}\cdot 3 + \dfrac{1}{2}\cdot 2\log_2(a)+\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \log_2(b)\\\\\\ \dfrac{3}{2}+\log_2(a)+\dfrac{3}{2}\cdot \log_2(b)$

Este é o resultado da expressão

$\boxed{\log_2(\sqrt[2]{8a^2b^3})=\dfrac{3}{2}+\log_2(a)+\dfrac{3}{2}\cdot \log_2(b)}$