Question

preciso da resolução completa desse limite

Answer 1

Resposta:

lim [√(1+x) - 1] *√(1+x) + 1] /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim [√(1+x)² -1]  /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim [1+x - 1]  /[ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim x /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim 1 /{√(1+x) + 1]     =1/{1+1} =1/2

x-->0

Answer 2

Resposta:   $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}=\frac{1}{2}.$

Explicação passo a passo:

Calcular o limite

    $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}$

Faça a seguinte mudança de variável:

    $\begin{aligned}\sqrt{1+x}=u&\quad\Longrightarrow\quad&1+x=u^2\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad&x=u^2-1 \end{aligned}$

e $u\to 1$ quando $x\to 0.$

Substituindo, o limite fica

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{u^2-1}\\\\ \displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{u^2-1^2}\end{array}$

Fatore o a diferença entre quadrados que aparece no denominador (produtos notáveis):

    $\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{(u-1)(u+1)}$

Simplificando o fator comum, o limite fica

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{1}{u+1}\\\\ =\dfrac{1}{1+1}\\\\ =\dfrac{1}{2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

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Bons estudos!