Question

Preciso ajuda urgente em uma questão de Cálculo

Answer 1

                   Regra de L'hospital

                              $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$

como f(0) = 0 e g(0) = 0, podemos representar esse limite da seguinte forma:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}$      

 $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x-0} }{\frac{g(x)-g(0)}{x-0} }$

como dividimos a parte de cima e a de baixo, não ira se alterar nada.

Vamos separar esse limite, pois x-0> 0

$= \frac{ \lim_{x \to0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} }{ \lim_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} }$

E percebemos que:

$\lim_{x \to0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$      é  a  derivada de f'(0)

$\lim_{x \to0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}$   é   a  derivada de g'(0)

Logo:

$= \frac{f'(0)}{g'(0)}$

Resposta:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(0)}{g'(0)}$