Question

PRECISANDO DE AJUDA!! OBG!!

INTERPOLE OITO NEIOS GEOMÉTRICOS ENTRE 2000 E 125/32.

Answer 1

Seja $(a_1,\underbrace{a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9}_{8~\text{meios}},a_{10})$ a PG procurada.

Pelo enunciado, $a_1=2000$ e $a_{10}=\dfrac{125}{32}$. 

Sabemos que, $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Subsituindo os valores dados:

$\dfrac{125}{32}=2000\cdot q^{10-1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\frac{125}{32}}{2000}=q^{9}$

$\dfrac{125}{64000}=q^{9}~~\Rightarrow~~q^{9}=\dfrac{1}{512}$.

$~~\Rightarrow~~q^{9}=(-2)^{9}~~\Rightarrow~~q=-2~~\Rightarrow~~\boxed{q=\dfrac{1}{2}}$.

Assim, a PG em questão é:

$\left(2000,1000,500,250,125,\frac{125}{2},\frac{125}{4},\frac{125}{8},\frac{125}{16},\frac{125}{32}\right)$.

Answer 2

Como queremos $8$ meios geométricos entre $2000$ e $\dfrac{125}{32}$, então devemos formar uma PG de $10$ termos, tal que, $a_1=2000$ e $a_{10}=\dfrac{125}{32}$.

Para isso precisamos determinar a razão dessa PG. Vamos utilizar a fórmula do termo geral: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Substituindo $a_n$ por $\dfrac{125}{32}$, $a_1$ por $2000$ e $n$ por $10$, temos:

$\dfrac{125}{32}=2000\cdot q^{10-1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\frac{125}{32}}{2000}=q^{9}~~\Rightarrow~~\dfrac{125}{64000}=q^{9}$

$\dfrac{1}{512}=q^{9}~~\Rightarrow~~q=\sqrt[9]{\dfrac{1}{512}}~~\Righatarrow~~q=\dfrac{1}{2}$

Dessa forma, os oito meios são:

$a_2=2000\cdot\dfrac{1}{2}=1000~~~~~~~~~~a_3=1000\cdot\dfrac{1}{2}=500$

$a_4=500\cdot\dfrac{1}{2}=250~~~~~~~~~~~~~a_5=250\cdot\dfrac{1}{2}=125$

$a_6=125\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{125}{2}~~~~~~~~~~~~~a_7=\dfrac{125}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{125}{4}$

$a_8=\dfrac{125}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{125}{8}~~~~~~~~~~~~~a_9=\dfrac{125}{8}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{125}{16}$.