Question

pra quem não entender a imagem
log7(x²-3x) menor ou igual log 7 18

Answer 1

Resolver a desigualdade

$\mathrm{\ell og}_{7}\,(x^{2}-3x) \leq \mathrm{\ell og}_{7\,}18$


$\bullet\;\;$ Antes de resolver qualquer inequação logarítmica, sempre devemos determinar as condições de existência dos logaritmos:


$\mathbf{(i)}$ As bases dos logaritmos devem ser positivas e diferentes de $\mathbf{1};$

$\mathbf{(ii)}$ Os logaritmandos devem ser positivos:

$x^{2}-3x>0\\ \\ x\cdot(x-3)>0\\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c} x<0\;\text{ ou }\;x>3 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Dadas as condições acima, resolver a inequação:

$\mathrm{\ell og}_{7}\,(x^{2}-3x) \leq \mathrm{\ell og}_{7\,}18$


Como a base é $7,$ e

$7>1$

então a desigualdade se mantém para os logaritmandos:


$x^{2}-3x\leq 18\\ \\ x^{2}-3x-18 \leq 0\\ \\ x^{2}+3x-6x-18 \leq 0\\ \\ x\,(x+3)-6\,(x+3)\leq 0\\ \\ (x+3)\,(x-6) \leq 0\\ \\ -3 \leq x \leq 6$


Combinando a solução encontrada com as condições de existência, chegamos à solução da inequação dada inicialmente:

$-3\leq x<0\;\text{ ou }\;3<x\leq 6$


O conjunto solução é

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\,-3\leq x<0\;\text{ ou }\;3<x\leq 6\right.\}$

ou usando a notação de intervalos

$S=[-3;\,0)\cup (3;\,6]$