Question

Pra quem gosta de séries.

A n-ésima fração da sequencia 

$( \frac{100}{3} , \frac{101}{5} , \frac{102}{7} , \frac{103}{9},... )$

é igual a 1.

O valor de n é :
 
a ) 98
b)  97
c) 96
d ) 95
e ) 94



 

Answer 1

i) Chamemos de $c_n$ a $n$-ésima fração dessa sucessão, o $n$-ésimo termo. Perceba que os numeradores das frações, bem como os denominadores, formam PAs. Sejam $a_n$ e $b_n$ o numerador e o denominador de $c_n$, respectivamente. Calculando $a_n$ e $b_n$ encontramos:

$a_n=a_1+r_a(n-1)\\ a_n=100+1(n-1)\\ a_n=100+n-1\\ \boxed{a_n=n+99}$

$b_n=b_1+r_b(n-1)\\ b_n=3+2(n-1)\\ b_n=3+2n-2\\ \boxed{b_n=2n+1}$

ii) Para que um dos termos seja 1 é necessário que o numerador e o denominador sejam iguais, ou seja:

$c_n=1\Leftrightarrow a_n=b_n$

Substituindo o que foi encontrado anteriormente teremos:

$a_n=b_n\Rightarrow n+99=2n+1\\ \\ \boxed{\boxed{n=98}}$

R: a) 98