Question

Pra hojeeeeeeeeeeeeeeeeee pfvr

Answer 1

Resposta:

$a + b + c = 8$

Resolução:

Método 1: Sistema de equações

Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$. Queremos achar $a + b + c$, dados

$f(0) = 15 \\f(3) = 0\\f(5) = 0$.

Expandindo, temos

$0a + 0b + c = 15 \\9a + 3b + c = 0\\25a + 5b + c = 0$

Já que, pela primeira equação $c = 15$, podemos substituir nas segunda e terceira equações:

$9a + 3b + 15 = 0\\25a + 5b + 15 = 0$

Multiplique a equação de cima por $5$ e a segunda por $-3$, e então some-as:

$45a + 15b + 75 = 0\\-75a - 15b - 45 = 0\\\\(45 - 75)a + (15 - 15)b + (75 - 45) = 0\\-35a + 35 = 0\\-35a = -35\\a = 1$

Substitua o valor encontrado em uma das equações (exceto a primeira):

$9(1) + 3b + 15 = 0\\24 + 3b = 0\\3b = -24\\b = -8$

Somando os valores encontrados, temos

$a + b + c = 1 + (-8) + 15 = 8$

Método 2: Combinação Linear

Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$. Queremos achar $f(1) = a + b + c$, dados

$f(0) = 15 \\f(3) = 0\\f(5) = 0$.

Porém, perceba que

$f(1) = a+ b + c\\\\= \frac{8}{15}(0^2a + 0b + c) + \frac{2}{3}(3^2a + 3b + c) - \frac{1}{5} (5^2a + 5b + c)\\\\= \frac{8}{15}f(0) + \frac{2}{3}f(3) - \frac{1}{5}f(5)\\\\= \frac{8}{15}(15) + \frac{2}{3}(0) - \frac{1}{5}(0)\\\\= 8$.

Apesar desse método ser mais elegante e direto (apenas foram necessárias 5 igualdades encadeadas), os coeficientes da combinação linear de $f(0)$, $f(3)$ e $f(5)$ que resultam em $f(1)$ são números racionais não tão óbvios. Entretanto, é razoável encontrar estes coeficientes por inspeção.