Question

pra hoje pelo amor de Deus galera!

Answer 1

Se o logaritmo de um número na base 16 é 2/3, vou chamar esse número de (x), e assim escrever a equação:

$log_{16} x= \frac{2}{3}$

Como o exercício quer saber o logaritmo desse número (x) na base 1/4, percebe-se que podemos transformar essas bases dos dois logaritmos para uma potência de 2.
16 é a mesma coisa que $2^{4}$. Então:

$log_{ 2^{4} } x= \frac{2}{3}$

Uma das propriedades dos logaritmos diz que o expoente do logaritmando "cai" multiplicando o logaritmo. Por exemplo:

$log_{7} 45^{3} =$
$3. log_{7} 45$

Já no caso do expoente da base, ele "sobe" invertido e multiplicando o logaritmo.Por exemplo:

$log_{5^{2}}32=$
$\frac{1}{2} log_{5} 32$

Então, aplicando essa propriedade para o nosso caso:

$log_{ 2^{4} } x= \frac{2}{3}$
$\frac{1}{4} log_{2}x= \frac{2}{3}$
$log_{2}x= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}}$
$log_{2} x= \frac{2}{3}. \frac{4}{1}$
$log_{2} x= \frac{8}{3}$

Por enquanto vamos deixar assim. Agora, vamos escrever a equação do logaritmo desse número (x) na base 1/4, transformando-a em uma potência de 2.

$log_{\frac{1}{4}}x=$
$log_{ 4^{-1} } x=$
$log_{ ({2^{2}})^{-1} }x=$
$log_{ 2^{-2} } x=$
$- \frac{1}{2} log_{2}x =$

Como já descobrimos, $log_{2} x= \frac{8}{3}$ , então é só substituir.

$- \frac{1}{2} log_{2}x =$
$-\frac{1}{2}. (\frac{8}{3})=$
$-\frac{8}{6} =$
$-\frac{4}{3}$

Alternativa 5)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: