Question

Potencias - continuação

Answer 1

$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-x)^n}{(n+1)3^n} }}$

Centro:
x-1=0 
x=1

fazendo o teste da razão para convergencia absoluta
ela vai convergir absolutamente se:
$\boxed{\boxed{ L=\lim_{n \to \infty} \left |\frac{a_{n+1}}{an} \right |\ \textless \ 1}}$

aplicando isso:
$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{(1-x)^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}} * \frac{(n+1)*3^n}{(1-x)^n} \right|\ \textless \ 1 \\\\ \frac{|1-x|}{3}\ \textless \ 1\\\\ \boxed{\boxed{-1\ \textless \ x\ \textless \ 4}}\to \text{intervalo de convergencia absoluta}$

se ela converge absolutamente neste intervalo, então a serie real (sem o modulo) tbm converge.

verificando os extremos:
para x=-2

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)} }}$

fazendo o teste da comparação vc ve que ela diverge em x=-2

agora o outro extremo para x=4

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)}$

fazendo o teste da serie alternada, ela converge em x=4
agora verificando se ela converge absolutamente ou condicionamente
é só verificar a convergencia da serie com |an| 

$\sum_{n=0}^{\infty} |\frac{(-1)^n}{(n+1)}| = \frac{1}{(n+1)} \to \text{diverge}$

como ela diverge em modulo
então em x=4 a serie converge condicionalmente:

$I= (-2,4]$
raio = 3
centro = 1

b) 
$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*2^n*x^n}{(n+1)^3} }}$

aplicando o teste da razão para convergencia absoluta
$\lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)^{n+1}*2^{n+1}*x^{n+1}}{(n+2)^3} * \frac{(n+1)^3}{(-1)^n*2^n*x^n}|\ \textless \ 1\\\\ \boxed{\boxed{ \frac{-1}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2} }}\to \text{intervalo de convergencia absoluta}$

verificando nos extremos:
quando x= -1/2

$\boxed{\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}}}$

fazendo o teste da comparação , a serie converge:
como ela em modulo fica a mesma coisa |an|=an ..ela converge absolutamente em x=-1/2

para x=1/2
$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^3} }}$ 

para poupar o tempo é só observar se ela converge em modulo 
$\sum_{n=0}^{\infty}| \frac{(-1)^n}{(n+1)^3} | = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3 }\to \text{converge absolutamente}$

logo a serie original, converge tbm .
$I=[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

raio = 1/2

c)
$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}*x^{2n-1}}{(2n-1)!} }}$

centro x=0

$L= \lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)^{n+2}*x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!} * }\frac{(2n-1)!}{(-1)^{n+1}*x^{2n-1}} |\\\\\boxed{\boxed{L=0}}$

converge absolutamente para qualquer valor de x

$I=(-\infty , \infty)$

raio = ∞
centro: x=0