Question

POTENCIAÇÃO

Se (x⁻¹+y⁻¹)⁻¹=2, então y é igual a:
a)x/1-2x
b)-x/1-2x
c)2x/x-2
d)x-2/2x
e)2/1+x
O gabarito diz que é c)
Coloquem os cálculos, por favor! Não estou conseguindo chegar a esse resultado

Answer 1

Olá.

Todo número, quando elevado à expoente negativo pode ser invertido em forma de fração, seguindo a propriedade:

$\mathsf{a^{-r}=\dfrac{1}{a^r}}$

Nessa questão, o primeiro passo é inverter o primeiro membro em forma de fração e, em seguida, os valores do denominador, buscando uma fração em modo mais simplificado (e sem expoentes negativos). Vamos ao desenvolvimento.

$\mathsf{\left(x^{-1}+y^{-1}\right)^{-1}=2}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\left(x^{-1}+y^{-1}\right)}=2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{y}{y}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x}\cdot\dfrac{1}{y}}=2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}}=2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{y+x}{xy}}=2}$

Como temos uma fração dentro de outra fração, temos que simplificar, criando apenas uma fração. Para isso, basta fazer uma divisão entre frações. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{y+x}{xy}}=2}\\\\\\\mathsf{1\div\dfrac{y+x}{xy}=2}\\\\\\\mathsf{1\cdot\dfrac{xy}{y+x}=2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{xy}{y+x}=2}$

Agora, basta "multiplicar cruzado" e separar o valor de y. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{xy}{y+x}=2}\\\\\\\mathsf{xy=2\cdot\left(y+x\right)}\\\\\\\mathsf{xy=2y+2x}\\\\\\\mathsf{xy-2y=2x}\\\\\\\mathsf{y\left(x-2\right)=2x}\\\\\\\mathsf{\underline{y=\dfrac{2x}{x-2}}}$

Assim, justifica-se o gabarito na letra C.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

[(x⁻¹+y⁻¹)⁻¹]⁻¹=2⁻¹

x⁻¹+y⁻¹ =1/2

1/x +1/y =1/2

multiplique tudo por 2xy

2y+2x=xy

2y-xy=-2x
y*(2-x)=-2x

y=-2x/(2-x) =2x/(x-2)   Letra C