Question

Potência de i Alguém me ajuda?

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{2 \cdot \left(\displaystyle\sum_{n = 1}^{62} i^n\right) - i^{10}}~\pink{=}~\blue{ 2i - 3 }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá novamente, Naturo. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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$\Huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~i = \sqrt{-1}~~}}}$

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☔ Inicialmente  vamos observar o comportamento das potências de expoente natural e de base i

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$\large\begin{cases}\blue{\sf~i^1~\pink{\Longrightarrow}~\boxed{i} }\\\\ \blue{\sf~i^2~\pink{\Longrightarrow}~(\sqrt{-1})^2 = \boxed{-1} }\\\\ \blue{\sf~i^3~\pink{\Longrightarrow}~(\sqrt{-1})^2 \cdot i = \boxed{-i} }\\\\ \blue{\sf~i^4~\pink{\Longrightarrow}~(\sqrt{-1})^2 \cdot (\sqrt{-1})^2 = \boxed{1} } \end{cases}$

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☔ Conhecendo os valores das primeiras 4 potências de i, podemos decompor todas as outras em termos de múltiplos n de 4

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$\Large\begin{cases}\blue{\sf~i^{n + 1}~\pink{\Longrightarrow}~i^n \cdot i^1 = i }\\\\ \blue{\sf~i^{n + 2}~\pink{\Longrightarrow}~i^n \cdot i^2 = -1 }\\\\ \blue{\sf~i^{n + 3}~\pink{\Longrightarrow}~i^n \cdot i^3 = -i }\\\\ \blue{\sf~i^{n + 4}~\pink{\Longrightarrow}~i^n \cdot i^4 = 1 } \end{cases}$

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☔ Desta forma sabemos que

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$\Large\blue{\sf \displaystyle\sum_{n = 1}^{4} i^n = i + (-1) + (-i) + 1 }$

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$\LARGE\blue{\sf = i - i + 1 - 1 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 0 }$

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☔ Sabemos portanto que a cada múltiplo de 4 a nossa somatória resulta em zero. Sabendo que 62 é igual à 60 (um múltiplo de 4) + 2 então temos que

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$\LARGE\blue{\sf \displaystyle\sum_{n = 1}^{62} i^n = \displaystyle\sum_{n = 1}^{60} i^n + i^1 + i^2 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 0 + i + (-1) }$

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$\LARGE\blue{\sf = i - 1 }$

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☔ Sabemos também que $\sf i^{10} = i^{8 + 2} = i^2 = -1$, ou seja

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$\large\blue{\sf 2 \cdot \left(\displaystyle\sum_{n = 1}^{62} i^n\right) - i^{10} = 2 \cdot (i - 1) - 1 }$

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$\Large\blue{\sf = 2i - 2 - 1 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 2i - 3 }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{2 \cdot \left(\displaystyle\sum_{n = 1}^{62} i^n\right) - i^{10}}~\pink{=}~\blue{ 2i - 3 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$