Matemática, perguntado por Gilceia13, 1 ano atrás

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Ensino médio (secundário)Matemática 5+3 pts

Os números que expressam as medidas do perímetro, diagonal e a área de um quadrado, nesta ordem, podem ser os termos de uma P.A.? Em caso afirmativo, quanto mede o lado desse quadrado?

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos e analisar a situação, concluímos que jamais existirá uma progressão aritmética cujos termos são os respectivos valores de perímetro, diagonal e área, de um determinado quadrado.

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} Perimetro = 4l\\Diagonal = l\sqrt{2}\\\acute{A}rea = l^{2}\end{cases}$

Desta forma podemos montar a seguinte sequência numérica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = (4l,\,l\sqrt{2},\,l^{2})\end{gathered}$}$

Supondo que a sequência "I" seja uma progressão aritmética devemos ter uma igualdade entre as suas razões.

Sabemos que a razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor imediato, então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} = l\sqrt{2} - 4l\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} - l\sqrt{2} + 4l = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l^{2} - 2\sqrt{2}l + 4l = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l^{2} - l(2\sqrt{2} - 4) = 0\end{gathered}$}$

Chegamos à uma equação do segundo grau. Agora devemos resolve-la. Sabemos que existe diversas formas de se resolver uma equação do segundo grau. Nesta questão, vou resolve-la pelo método da fatoração. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l\cdot\left[l - (2\sqrt{2} - 4)\right] = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l' = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l'' - (2\sqrt{2} - 4) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l'' - 2\sqrt{2} + 4 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} l'' = 2\sqrt{2} - 4\end{gathered}$}$

Portanto, o conjunto solução da equação, de forma organizada, é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{2\sqrt{2} - 4,\,0\}\end{gathered}$}$

Para que exista um quadrado, o valor de seu lado tem que ser maior zero (0). caso contrário, não existe quadrado.

Observando as raízes a partir do conjunto solução percebemos que a primeira raiz tem um valor negativo e a segunda raiz tem um valor nulo.

Portanto, nenhuma raiz da equação serve para ser a medida do lado do quadrado. Sendo assim, jamais teremos uma progressão aritmética cujas medidas são o perímetro, diagonal e área do quadrado, respectivamente.

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}$