Question

Posso resolver por substituição trigonométrica?
$\sf \int \frac{4xdx}{ \sqrt{9 + 4x {}^{2} } }$
​

Answer 1

$\int \frac{4xdx}{ \sqrt{9 + 4x {}^{2} } } dx$

Use a propriedade do integral

$\int \: a \times f(x)dx = a \times \int \: f(x)dx$

a ∈ℝ.

Sendo assim...

$4 \times \int \frac{x}{ \sqrt{9 + 4x {}^{2} } } dx$

Usando a substituição

$t = \sqrt{9 + 4x {}^{2} }$

, Transforme a integral.

Sendo assim...

$4 \times \int \frac{1}{4} dt$

Usando

$\int \: adx = a \times x$

Resolva a integral.

Sendo assim...

$4 \times \frac{1}{4} t$

Devolva a substituição

$t = \sqrt{9 + 4x {}^{2} }$

Sendo assim...

$4 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{9 + 4x {}^{2} }$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$\sqrt{9 + 4x {}^{2} }$

Faça a soma da constante de integração C ∈ℝ.

Sendo assim...

$\sqrt{9 + 4x {}^{2} } + C,C ∈ℝ$

Answer 2

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https://brainly.com.br/tarefa/33100808

Vou resolver de duas formas:

1ª:

$\displaystyle\sf\int\dfrac{4x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx\\\sf fac_{\!\!,}a~2x=3tg(\theta)\implies x=\dfrac{3}{2}tg(\theta)\\\sf dx=\dfrac{3}{2} sec^2(\theta)~d\theta\\\sf \sqrt{9+4x^2}=\sqrt{9+9tg^2(\theta)}\\\sf =\sqrt{9(1+tg^2(\theta))}=\sqrt{9sec^2(\theta)}=3sec(\theta)$

$\displaystyle\sf\int\dfrac{4x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx=\int\dfrac{4\cdot\frac{3}{2}tg(\theta)}{3sec(\theta)}\cdot\dfrac{3}{2}sec^2(\theta)~d\theta\\\displaystyle\sf4\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\int\dfrac{tg(\theta)}{\diagup\!\!\!\!sec(\theta)}\cdot \diagup\!\!\!\!\!sec^2(\theta)d\theta$

$\displaystyle\sf\dfrac{36}{12}\int sec(\theta) \cdot tg(\theta)~d\theta=3\int sec(\theta)\cdot tg(\theta)~d(\theta)=3sec(\theta)+k\\\sf usando~o~tri\hat angulo~auxiliar~temos:\\\sf sec(\theta)=\dfrac{\sqrt{9+4x^2}}{3}\\\rm ent\tilde ao~\displaystyle\sf\int\dfrac{4x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx=\diagup\!\!\!3\cdot\dfrac{\sqrt{9+4x^2}}{\diagup\!\!\!3}=\sqrt{9+4x^2}+k$

2ª:

$\displaystyle\sf\int\dfrac{4x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{8x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx\\\rm fac_{\!\!,}a~u=9+4x^2\implies du=8x~dx\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{2}\int\dfrac{8x}{\sqrt{9+4x^2}}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{\sqrt{u}}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!2}\cdot\diagup\!\!\!2\sqrt{u}+k\\\displaystyle\sf\int\dfrac{4x}{\sqrt{9+4x^2}}~dx=\sqrt{9+4x^2}+k$