Question

posição relativa da circunferência:

λ: x²+y²-6x+4y+4 → p(-1,2) interna, pertencente, extercente → v: 3x+4y-3= 0 secante, tangente, externa → x²+y²-4x+10y+25= 0 tangente interna, tangente externa, secante externa​

Answer 1

Supondo x²+y²-6x+4y+4=0, temos:

x²+y²-6x+4y+4=0 ⟺

(x²-6x +9)+( y²+4y+4)= 9 ⟺

(x-3)²+( y+2)²= 3²

Temos então que a circunferência λ tem centro C(3, -2) e raio 3.

1) Para determinar a posição relativa do ponto p(-1,2), basta calcular a distância $d(p,C) = \sqrt{(3+1)^2+(2+2)^2} = 4\sqrt{2}$. Como a distância entre o centro e o ponto é maior que o raio, temos que o ponto está fora da circunferência (extercente, não sabia que essa palavra existia).

2) Isolando o x: 3x+4y-3= 0 ⟺ 3x = 3-4y ⟺ x = (3-4y)/3. Substituindo na equação da circunferência:

x²+y²-6x+4y+4=0 ⟺

(3-4y)²/9 -2*(3-4y) +y²+4y+4 =0 ⟺

25y² +84y -9 =0

Como o discriminante (Delta) é maior que zero, temos que a reta é secante (a quadrática tem duas soluções, portanto a reta corta em dois pontos distintos).

Por distancia entre ponto e reta (distância entre o centro e a reta dada):

$d = \dfrac{|9-8-3|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{2}{5}$

Como a distância entre o centro e a reta é menor que o raio, temos que a reta é secante.

3)

x²+y²-4x+10y+25= 0⟺

(x²-4x+4) +(y²+10y+25) = 4 ⟺

(x-2)²+(y+5)² =2²

A distância entre os centros é dada por $d(C_1,C_2) = \sqrt{(3-2)^2 +(-2+5)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.  Temos que a distância entre os centros está entre a diferença dos raios e a soma deles $3-2 < \sqrt{10} < 3+2 \iff 1 < 10 < 25$, portanto as circunferências são secantes. E temos também que a distância entre os centros é maior que o raio da maior $3 < \sqrt{10} \iff \sqrt{9} < \sqrt{10}$, portanto ela é uma secante externa,