Question

porque
7) Dado o número 43? determine quais algarismos podem ser colocados no lugar de ? para que
o número formado seja divisível:
a) por 2:
b) por 5:
c) por 3:
d) por 6:
e) por 9:
f) por 10:​

Answer 1

Olá!

Conhecendo os critérios de divisibilidade, podemos declarar quais números atendem às regras:

A → 43_ divisível por 2.

Um número será divisível por 2 quando for par. Um número par sempre terminará em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Portanto, para que 43? seja divisível por 2, "?" deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

B → 43_ divisível por 5.

Um número será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Isso porque 5 é metade da dezena, dado que nosso sistema de numeração é decimal. Com isso, cada acréscimo de duas vezes 5 unidades é 1 dezena. Com isso, os múltiplos de 5 sempre irão alternar entre 0 e 5 pois sempre haverá uma alternância entre 1 dezena e 1/2 de uma dezena.

Portanto, para que 43? seja divisível por 5, "?" deve ser 0 ou 5.

C → 43_ divisível por 3.

Um número será divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. Então, a soma dos algarismos deve ser igual a 3, 6 ou 9.

Como 4 + 3 = 7, sabemos que a soma dos algarismos deve ser 9, pois 7 > 3 e 7 > 6, dado que "?" é um número natural (não pode ser negativo).

Com isso,

$\sf 4 + 3 \, + \, ? \, = 9$

$\sf 7 \, + \, ? \, = 9$

$\sf ? \, = 9 - 7$

$\fbox{\fbox{ \sf {\color{Red} ? \, } = 2 }}$

A partir do 2, vamos somar 3 a esse algarismo enquanto ele for menor que 10. Cada soma obtida é uma possibilidade para "?".

$\sf 2 {\color{Purple} \, + \, 3} = {\color{Red} 5}$

$\sf 5 {\color{Purple} \, + \, 3} = {\color{Red} 8}$

$\sf 8 {\color{Purple} \, + \, 3} = {\color{Red} 11}$

Como 11 > 10, vamos parar por aqui e não vamos considerar esse número.

Os resultados obtidos são 5 e 8.

Portanto, para que 43? seja divisível por 3, "?" deve ser 2, 5 ou 8.

D → 43_ divisível por 6.

Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. Ou seja, deve terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e a soma dos seus algarismos deve ser 3, 6 ou 9.

Já descobrimos que 43? será divisível por 3 quando "?" for 2, 5 ou 8. Como 5 não é um número par, podemos excluir essa possibilidade.

Como 2 e 8 estão entre os números 0, 2, 4, 6, 8, então esses são os números que procuramos.

Portanto, para que 43? seja divisível por 6, "?" deve ser 2 ou 8.

E → 43_ divisível por 9.

Um número será divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9. Como 9 é o último algarismo possível (menor que 10), a soma dos algarismos deve ser 9.

$\sf 4 + 3 \, + \, ? \, = 9$

$\sf 7 \, + \, ? \, = 9$

$\sf ? \, = 9 - 7$

$\fbox{\fbox{ \sf {\color{Red} ? \, } = 2 }}$

Portanto, para que 43? seja divisível por 2, "?" deve ser 2.

F → 43_ divisível por 10.

Um número será divisível por 10 quando for divisível por 2 e por 5. Como os números divisíveis por 5 sempre alternam entre 0 e 5 e os números divisíveis por 2 precisam terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, para um número ser divisível por 10, ele precisa terminar em 0 (observe que 0 é critério de divisibilidade do 5 e do 2 simultaneamente).

Portanto, para que 43? seja divisível por 10, "?" deve ser 0.

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)