Question

Porque (-1) elevado na 2n, n par é igual a 1. E (-1) elevado na 2n+1, n par é igual a -1.

Answer 1

(1) Provar que, para todo $n$ natural, sempre temos

$(-1)^{2n}=1$


$\bullet\;\;$ Caso base. Para $n=0:$

$(-1)^{0}=1\;\;\;\;\text{(verdadeiro)}$


$\bullet\;\;$ Hipótese de indução. Suponha que a fórmula vale para $n=k,$ ou seja,

$(-1)^{2k}=1$

com $k$ natural maior ou igual que zero. Basta provar que

Se vale para $n=k,$ então vale para $n=k+1.$


$\bullet\;\;$ Para $n=k+1,$ temos

$(-1)^{2(k+1)}\\ \\ =(-1)^{2k+2}\\ \\ =(-1)^{2k}\cdot (-1)^{2}\\ \\ =1\cdot 1\\ \\ =1\;\;\;\;\blacksquare$


(2) Provar que, para todo $n$ natural, sempre temos

$(-1)^{2n+1}=-1$


Utilizando o resultado obtido em (1), temos que, para todo $n$ natural

$(-1)^{2n+1}\\ \\ =(-1)^{2n}\cdot (-1)^{1}\\ \\ =1\cdot (-1)\\ \\ =-1\;\;\;\;\blacksquare$