Question

Por si só, uma equação diferencial não determina uma função solução única. Para se obter uma solução particular, é necessário que se conheça um (ou mais de um) valor da função solução ou/e de alguma de suas derivadas. A função y = c1 e -x + c2 x e-x é solução geral da equação diferencial y`` + 2y`+ y = 0 Especifique os valores das constantes c1 e c2 de modo que a função y(x) satisfaça as condições iniciais y((0) = 2 e y`(0) = 1 ???

Answer 1

Resposta:

$y(x) = 2e^{-x} + 3xe^{-x} = e^{-x}(3x+2).$

Explicação passo-a-passo:

Tal como referido, a equação diferencial

$y'' + 2y' + y =0$

tem solução geral da forma

$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 xe^{-x}.$

Derivando $y$, obtém-se

$y'(x) = -C_1e^{-x} +C_2(e^{-x} -xe^{-x} ) = -C_1e^{-x}+ C_2e^{-x}(1-x) .$

Podemos ainda fatorizar mais e obter

$y'(x) = [C_2(1-x) - C_1]e^{-x}.$

Basta agora resolver o sistema

$\begin{cases}y(0)=2 \\ \\ y'(0) = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} C_1 e^0 + C_2e^0\times 0= 2 \\ \\ (C_2-C_1)e^0 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} C_1 = 2 \\ \\ C_2=C_1+1 \end{cases}.$

Que tem solução então

$\begin{cases} C_1 = 2 \\ \\ C_2=3\end{cases} .$

Assim, a função pretendida é

$y(x) = 2e^{-x} + 3xe^{-x} = e^{-x}(3x+2).$