Question

Por que o módulo da aceleração vetorial não é nulo em um movimento circular uniforme?

Answer 1

Num movimento circular uniforme, trajetória corresponde a uma circunferência e a velocidade tem módulo constante. Contudo, a sua direção varia, uma vez que o vetor é tangente à trajetória em cada ponto. Como tal, a aceleração é não nula.

Vamos então provar a afirmação matematicamente. Seja a velocidade $\vec{v} = v\hat{v}$, onde $v$ é o módulo da velocidade e $\hat{v}$ é o versor associado. Utilizando a regra do produto, podemos determinar a aceleração:

$\vec{a}=\dfrac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{d}t} = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(v\hat{v}\right) = \dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}\hat{v} + v\dfrac{\textrm{d}\hat{v}}{\textrm{d}t}.$

Como o módulo é constante, temos:

$\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} = 0,$

porém:

$\dfrac{\textrm{d}\hat{v}}{\textrm{d}t} \neq \vec{0},$

uma vez que a direção da velocidade varia. Como tal, temos:

$\left|\vec{a}\right|=\left|\underbrace{\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}}_{=0}\hat{v} + v\dfrac{\textrm{d}\hat{v}}{\textrm{d}t}\right| = \left| v \right|\left|\dfrac{\textrm{d}\hat{v}}{\textrm{d}t}\right| \neq 0.$