Question

Por que o cos 15 some e fica " sen 2. 15"?

Answer 1

Bom, vamos observar primeiramente que:

A identidade de meio ângulo para sen -> sen (x/2) = $\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

Sendo assim, observemos a adição

sen 15 + cos 15

sen 15 = sen (30/2)

sen (30/2) = $\sqrt{\frac{1-cos(30)}{2}}$

$\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}{2}$

Ficamos então com:

$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}{2}.cos15$

Vamos usar a propriedade do meio ângulo para cos 15 também.

cos (x/2) = $\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$

Simplificando, ficariamos com

cos 15 = $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}{2}$

Então vamos para os finalmentes.

$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}{2}$

$\frac{(2-\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}{2}.\frac{(2+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}{2}$

E que

(a + b).(a - b) = a^2 - b^2

Simplificação final:

$\frac{1}{4}$