Question

Por que nem toda função contínua é diferenciável?

Answer 1

Simplesmente porque existem funções que são contínuas em determinado ponto, mas o limite que define a derivada naquele ponto não existe (ou vai para infinito).


Exemplo clássico:

Considere a função $f:~\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida para todo $x$ real por

$f(x)=|x|$

_____________________

$\bullet~~$ De fato $f$ é contínua em $x_{0}=0,$ pois

$\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)\\\\ \underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,|x|\\\\ \underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,(-x)=0\\\\\\ \underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)\\\\ \underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,|x|\\\\ \underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,x=0\\\\\\ \therefore~~\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)=0=f(0)$

_____________________

$\bullet~~$ Observe agora o que acontece ao tentarmos calcular a derivada de $f$ em $x_{0}=0:$


(se o limite abaixo existir, então)

$f'(0)=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\\\\\\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{|x|-|0|}{x}\\\\\\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{|x|-0}{x}\\\\\\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{|x|}{x}\\\\\\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~g(x)~~~~\mathbf{(i)}$

sendo $g(x)=\dfrac{|x|}{x}\,,~~~~\text{para todo }x\ne 0.$


Por definição de valor absoluto de um número real, temos que

$g(x)=\left\{\!\!\begin{array}{rc}\dfrac{x}{x}\,,&\text{se }x>0\\\\ \dfrac{-x}{x}\,,&\text{se }x<0 \end{array} \right.\\\\\\\\ g(x)=\left\{\!\!\begin{array}{rc}1\,,&\text{se }x>0\\\\ -1\,,&\text{se }x<0 \end{array} \right.$


Calculando o limite de $g$ com $x$ tendendo a zero pela esquerda (isto é, por valores menores que zero):

$\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,g(x)\\\\ =\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,(-1)=-1$


Calculando o limite de $g$ com $x$ tendendo a zero pela direita (isto é, por valores maiores que zero):

$\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,g(x)\\\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,1=1$


Ora, como $\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,g(x)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,g(x)$

(os limites laterais diferem)


então o limite $\mathbf{(i)}$

$f'(0)=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}~g(x)\text{ n\~{a}o existe.}$


Logo, $f$ não é diferenciável em $x_{0}=0;$ apesar de ser contínua neste mesmo ponto.