Question

Por que, em uma PA de três termos, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois dos extremos?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Segue a explicação em 2 exemplos:

A progressão aritmética é uma sequência em que somamos o termo anterior a uma razão constante que chamamos de "r" e encontramos a próximo termo.

P.A: (2,5,8,11...)

a1 = 1° termo

a2= 2° termo

a3= 3° termo

a4 = 4° termo

a1+r = a2

2+3 = 5

a2+r = a3

5+3 = 8

a3+r= a4

8+3 = 11

P.A: (2,5,8...)

a1= 2

a2 = 5

a3 = 8

2,5,8

a2= 5

a1= 2

a3 = 8

Provar que a2 = (a1+a3)/2

5 = (2+8)/2

5 = 10/2

5 = 5

Genericamente:

Termo geral da P.A.:

an = a1 + (n-1).r

an = ultimo termo

n = n° de termos

r = razão

a1 = 1° termo

a1

a2 = a1+r

a3 = a1+2r

Substituindo-se os termos:

a2 = (a1+a3)/2

"a3 = a1 + 2r"

a2 = (a1+"a1+2r")/2

"a1+a1" = 2a1

"2a1 + 2r = 2.(a1+r)"

Corta 2 com 2

a2 = (2a1 + 2r)/2

a2 = 2.(a1+r)/2

a2 = 2/2 . "(a1+r)"

Sobrou "a1+r"

Veja que: "a2= a1+r"

a2 = 1 . "a2"

a2 = a2

Logo a2 = a2

O termo do meio é igual a média aritmética da soma do termo anterior ao do meio com o posterior ao do meio:

(3, 6, 9...)

6 = (3+9)/2

6 = 12/2= 6

Em termos genéricos

(3; 6; 9)

a1 = a2 - r

a1 = 6 - 3

a1 = 3

a3 = a2 + r

a3 = 6+3

a3 = 9

Se temos o termo a2 = x

Para acharmos o anterior: subtrair a razão

a1 = x- r

para acharmos o posterior: somar a razão

a3 = x + r

O termo do meio =

(anterior + posterior) dividido por 2:

x- r ; x ; x + r

a2= (a1 + a3)/2

x = ( x-r + x + r)/2

x = (x+x - r + r)/2

x = 2x/2

x = x

Assim, demonstramos por alguns exemplos, que a2 = (a1+a3)/2