Por que é errado dizer que todo número real é racional?
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É errado dizer que todo número real é racional pois, obviamente, existe pelo menos um número real não racional, i.e, que não pode ser escrito como uma razão a/b com a, b inteiros. No caso, existem infinitos números reais não racionais. O conjunto de todos estes números é chamado de conjunto dos números irracionais, ou então apenas números irracionais.
Alguns exemplos de irracionais:
√2, √3, √5... : As raízes quadradas (ou de ordens superiores) de números primos são todas irracionais.
π: A razão entre a circumferência e o diâmetro de um círculo, π (pi), é 3,1415926535... . Suas casas decimais são infinitas e não se repetem, e é um número irracional conhecido.
e: O número de euler, que vale 2,71828182..., e é o número que satisfaz d(e^x)/dx = e^x, também é irracional.
φ: A razão áurea, que vale 1,618..., e é a média arimética entre 1 e raiz quadrada de 5, é irracional.
Adendo: Poderia-se argumentar que os números apresentados acima não existem ou então não são reais. A rigor, dizemos que a existência dos números reais se dá por causa da completude do conjunto dos números reais; dizemos que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo. Antes do ensino superior, não é costume preocupar-se com isto; apenas costuma-se assumir que os irracionais, de fato, existem e formam um subconjunto dos reais.