Question

Por que a simples existência das derivadas parciais em um ponto P de uma função f de várias variáveis reais em R não é suficiente para garantir a continuidade de tal função em P, mas é necessário? Dê um exemplo, e mostre com todos os detalhes, de uma função de duas variáveis reais que possui todas as derivadas parciais em um ponto P0= (x0,y0) do R2 mas f não é contínua em P0 = (x0,y0).

Answer 1

Bom dia Francisco!

Solução!

$Teorema~~Schuarz!$

Seja $f:U\longrightarrow \mathbb{R}$ uma função que possui as derivadas

 parciais $\dfrac{\partial f}{\partial x_{1} }(x),........, \dfrac{\partial f}{\partial x_{n} }(x)$ em todos os pontos do domínio $x$  do aberto $U \subset \mathbb{R}^{n}.$


A $k- esima$  derivada parcial da função $\dfrac{\partial f}{\partial x_{i} }:U\longrightarrow \mathbb{R}$ no ponto $x \in U$ é indicada por   $\dfrac{\partial^{2}f }{\partial_{k}\partial x_{i}}(x)= \dfrac{\partial}{\partial x_{k} } \left ( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i} } \right )(x),k=1,........n.$

Se essas derivadas parciais  de segunda ordem existirem em cada ponto  
$x \in U$,temos  $n^{2}$  funções $\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{k} \partial x_{i}}: U \longrightarrow\mathbb{R}$ Quando tais funçãoes forem continuas , designaremos por $f$ e de classe $C^{2}$ e escreveremos $f \in C^{2}$.

Em geral ,a mera existencia das derivadas parciais de segunda ordem em todos os pontos de $f$ esta  definida mas não se se pode assegurar  que se tenha essa igualdade $\dfrac{\partial^{2}f }{\partial x_{k} \partial x_{i} }=\dfrac{\partial^{2}f }{\partial x_{k} \partial x_{i} }$


 Veja o exemplo!

Seja  $f:\mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x,y)= \dfrac{xy( x^{2} -y^{2}) }{ x^{2} +y^{2} }$ quando $x^{2} +y^{2} \neq 0$ e $f(0,0)=0$.Para todo $y \neq 0$ tem-se $f(0,y)=0$,então



 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y)= \displaystyle \lim_{x \to 0}= \dfrac{f(x,y)}{x}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{y( x^{2} -y^{2}) }{ x^{2} +y^{2} }= -y \\\\\\\\ Portanto\\\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y\partialx}(0,0)= \dfrac{\partial}{\partial y}\left ( \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,y)\right )=-1$

Conclusão não são continuas!


Bom dia!

Bons estudos!