Question

por que a coroa portuguesa queria descobrir uma rota alternativa para as Indias???

Answer 1

Porque o local por onde passavam para ir as Indias, eram cobrados altos impostos, por passarem pelo local dominados pelos arabes e assaltados, acabavam levando as especiarias que haviam comprado nas Indias.
(resposta mais simples).

Answer 2

Porque eles queriam dominar o comércio naquele trecho que já era dominado pela Itália.