Question

Por que 2k² ≥ (k + 1)^2 é equivalente a (k − 1)^2 ≥ 2?

Answer 1

Por um lado,

$2k^{2} \geqslant (k + 1)^{2} \\ \\ 2k^{2} \geqslant k^{2} + 2k + 1 \\ \\2k^{2} - {k}^{2} - 2k - 1 \geqslant 0 \\ \\k^{2} - 2k - 1 \geqslant 0$

Por outro lado,

$(k - 1)^{2} \geqslant 2 \\ \\ {k}^{2} - 2k + 1 \geqslant 2 \\ \\{k}^{2} - 2k + 1 - 2\geqslant 2 - 2 \\ \\ k^{2} - 2k - 1 \geqslant 0$

Como o desenvolvimento das duas inequações resultaram na mesma inequação por procedimentos matemáticos válidos, como subtração de números em ambos os lados da inequação, então elas são equivalentes.