Question

Por qual razão algumas frações geram dizima periódica e outras não? Eu li que tem a ver com números primos mas não entendi a relação.

Answer 1

olá, é o seguinte se p e q sao primos a fração 

p / q  nunca  é uma divisao exata, porque os unicos divisores de p sao 1 e o proprio p. O mesmo vale para q. 

Entao a fração    p / q

sempre será um decimal exato, ou decimal não exato, ou seja, pode ocorrer  3 casos:  

decimal exato, uma dizima periodica, uma dizima nao periodica  
 
exemplo 

2 / 5 = 0,4   decimal exato

5 / 7 = 0, 71428571 ..... dizima não periodica

5 / 11 = 0,45454545 ..... dizima periodica

O mesmo ocorre quando p e q são primos entre si, ou seja, se o mdc entre p e q for igual á  1.


isso ocorre porque, se o mdc entre p e q for igual á  1 os numeros p e q não possuem divisores comuns, e sempre ocorre com dois  numeros primos ou dois numeros primos entre si. 

outro exemplo 

3 é primo 
8 não é primo 

mas 3 e 8 são primos entre si, porque mdc ( 3, 8) = 1 


8 / 3  = 2,666666666 ....dizima periodica 

3 / 8 = 0,375  decimal exato