Question

"Por meio da soma dos termos de uma PA, determinar o valor da expressão Y=1^3+2^3+3^3+4^3+...+100^3"

Não consigo reconhecer uma PA nessa sequência...

Answer 1

i) Seja a soma $\Delta_n=1+2+3+4+\ldots+n$. É fácil ver que essa é a soma dos termos de uma PA e que

$\Delta_n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$

A partir da fórmula acima encontramos que

$\Delta_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$

Usando as duas fórmulas acima encontramos que:

$\left\{\begin{array}{l}n=\Delta_n-\Delta_{n-1}\\ n^2=\Delta_n+\Delta_{n-1}\end{array}\right.$

Por fim, multiplicando-as membro a membro encontramos que:

$\boxed{n^3=\Delta_n^2-\Delta_{n-1}^2}$

ii) Atribuindo valores para $n$ encontramos o seguinte:

$\begin{array}{l}1^3=\Delta_1^2-\Delta_0^2\\ 2^3=\Delta_2^2-\Delta_1^2\\ 3^3=\Delta_3^2-\Delta_2^2\\ \vdots\\ 100^3=\Delta_{100}^2-\Delta_{99}^2\end{array}$

Somando todas as igualdades acima membro a membro encontramos que:

$1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+100^3=\Delta_{100}^2-\Delta_0^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+100^3=\left(\frac{100(100+1)}{2}\right)^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+\ldots+100^3=(50.101)^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+\ldots+100^3=2500.10201\\ \\ \boxed{\boxed{Y=25502500}}$


De um modo geral, $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\Delta_n^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$, onde o $\Delta_n$ é a soma dos termos de uma PA, meio que de acordo com o que foi pedido na questão.