Question

Por meio da integral dupla, calcule os seguintes volumes:

8) Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado acima pelo plano z = 9 - y² e abaixo por x + y = 3.

9) Use coordenadas polares para achar o volume da esfera x² + y² + z² = a².

10) Use coordenadas polares para achar o volume do sólido delimitado do paraboloide z = 4 - x² - y² e o plano xy.

Ver anexo

Answer 1

A questão 10 não coube no anexo:

Tínhamos que:

z = 4 -x²-y²

Limitado com o plano xy, que é o mesmo que z = 0.

Verificando a intersecção dos planos.

4-x²-y² = 0

x²+y² = 4

Temos que a região de integração é uma circunferencia de raio 2.

Como está centralizado na origem, podemos fazer.

x²+y² = r²

r² = 4

r = 2

Observe que, a circunferencia está em todo o quadrante. Desse modo, 

0 ≤ θ ≤ 2π

Lembre-se também, 

Que toda vez que fizermos mudança de variavel, temos que calcular o jacobiano. Contudo, para coordenadas em polares não é necessário uma vez que:

jacobiano sempre em polar será = r
-----------------

V = ∫∫  F(x,y)dA 
        R

Em polar,

V = ∫ ∫  F(r, θ).rdrdθ
        S

Geralmente escrevem F(rcosθ, rSenθ)

Então,

nossa região passa ser "S"

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2π

Onde, z = 4 -x²-y³

Em polar,

z = 4 - r²

logo,

$\\ V = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^2_0 {(4-r^2)rdrd \beta } \, \\ \\ V = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^2_0 {(4r-r^3)drd \beta } \, \\ \\ V = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, (2r^2- \frac{r^4}{4} )|(0,2)d \beta \\ \\ V = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, (8- 4 )d \beta \\ \\ V = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, (4)d \beta \\ \\ V = 4 \beta |(0,2 \pi ) \\ \\ V = 8 \pi u.v$

Obs: Eu usei beta na integral mas seria o teta; Até :)