Question

Por indução, prove que para todo n ≥ 0:

1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1)²

Answer 1

$\Large \sf 1+3+5 + ... \ + (2n+1) = (n+1)^2 \ ; \ \forall \ n \geq 0 \\\\ n = 0 \to 1 = (0+1)^2= 1 \ \checkmark\\\\ n = 1\to 1+3 =(1+1)^2 \to 4=4 \ \checkmark \\\\ n = 2 \to 1+3+5 = (2+1)^2 \to 9 = 9\ \checkmark \\\\\\ \underline{Tese}\ n=k : \\\\ 1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)^2 \ ; \ \forall \ k \in \mathbb{N} \\\\\\ \underline{Hip{\'o}tese} \ n = k+1 : \\\\ 1+3+5+...+2k+1 +2(k+1)+1 =(k+1 + 1)^2 \ \ ;\ \forall \ (k+1)\in\mathbb{N } \\\\ (k+1)^2 + 2k+2+1 = (k+2)^2 \\\\ k^2+2k+1+2k+3 =(k+2)^2$

$\displaystyle \sf k^2+4k+4=(k+2)^2\\\\ \huge\boxed{\sf (k+2)^2=(k+2)^2} \ C.Q.D \ \checkmark$

Answer 2

❏ O princípio da indução finita é uma propriedade dos números Naturais ( ℕ ) que consiste em provar a veracidade de uma expressão mediante os seguintes aspectos:

➭ A expressão deve ser válida para o valor 1;

➭ Se for válida para qualquer número n, será verdadeira também para n + 1, sendo n pertencente ao conjunto dos naturais ℕ.

Dessa forma, a expressão será verdadeira para todo número pertencente ao conjunto dos números Naturais ( ℕ ).

❏ Já introduzido o conceito de indução matemática, bora equacionar e rachar a cabeça!

Perceba que esse somatório é constituído de números ímpares, haja visto que $\tt 2n+1$ é sempre ímpar.

Primeiro de tudo, devemos buscar o caso trivial e aplica-lo na expressão, isto é admitiremos $\tt n = 1$

$\large\begin{array}{lr}\tt 1 + 3 + 5 +\ldots+ (2n + 1) = (n + 1)^2\\\\\tt \forall \:\: n = 1\\\\\tt 1 + (2\cdot 1 + 1) = (1 + 1)^2\\\\\red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:4=4}}} \end{array}$

De fato a expressão vale para  $\tt n=1$, esse foi o primeiro passo.

Agora, devemos generalizar a expressão admitindo um valor arbitrário para n. Para isso vamos expandir a ideia, vamos calcular em função de n.

$\large\begin{array}{lr}\tt 1 + 3 + 5 +\ldots+ (2n + 1) = (n + 1)^2 \end{array}$

Vamos postular que a expressão acima é verdadeira para todo n pertencente aos naturais. Por definição de prova por indução finita devemos provar que vale para todo n + 1, isto é, também é válida para o sucessor de n, então, pode-se substituir n + 1 na expressão, ficando:

$\large\begin{array}{lr}\tt 1 + 3 + 5 +\ldots+ (2n+1) + \left[ 2(n+1)+ 1\right] = \left[(n +1 )+ 1\right]^2\\\\\tt 1 + 3 + 5 +\ldots+ 2n+1 +2n+3 = (n +2)^2\end{array}$

❏ Uma dos axiomas Euclidianos, presente no anexo de Noções Comuns do livro Os Elementos diz que:

“Coisas iguais as mesmas coisas são iguais entre si.”

O enunciado diz que  $\tt 1 + 3 + 5 +\ldots+ (2n + 1)$ é igual a  $\tt (n + 1)^2$, logo:

$\large\begin{array}{lr}\tt \underbrace{\tt1 + 3 + 5 +\ldots+ 2n+1}_{ (n+1)^2} +2n+3 = (n +2)^2 \\\\ \tt (n + 1 )^2 +2n+3 = (n +2)^2\\\\ \tt n^2 + 2n + 1 +2n+3 = n^2+4n+4\\\\ \tt n^2 + 4n + 4 = n^2+4n+4\\\\ \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:(n +2)^2 = (n +2)^2}}}\end{array}$

❏ Com isso, provamos que a sentença é verdadeira para todo n pertencente aos naturais.

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: 1 + 3 + 5 +\ldots+ (2n + 1) = (n + 1)^2 \:\: \exists \:\: \forall \: \: n \in \mathbb{N}}}} \end{array}$

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre princípio da indução finita:

• https://brainly.com.br/tarefa/7570591
• https://brainly.com.br/tarefa/11691264

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$