Question

Por favorzinho me ajudem, estou impaciente com essa questão. Brigadinha a todos que ajudarem.

Sejam f : X --> Y uma aplicação. Mostrar, através de diagrama que:
a) Para todo A⊂X, tem-se que: A ⊂ f-¹(f(A))
b) Para todo V⊂Y, tem-se que: f(f-¹(V)) ⊂ V
c) Se f é injetiva, então para todo A ⊂ X, tem-se que: f-¹(f(A)) = A
d) Se f é sobrejetiva, então para todo V⊂Y, tem-se que f(f-1(V)) = V
e) Se f é bijetiva, para todo A⊂X e para todo V⊂Y, tem-se que: f-¹(f(A))=A e f(f-¹(V))=V

Answer 1

Primeiro lembramos que se f: X→Y é uma função e A⊂X então f(A) é o seguinte conjunto:

f(A) = {f(a) ∈ Y; a ∈ A}

Ou seja, f(A) é o conjunto de todas as imagens de elementos de A. Por isso chamamos o conjunto f(A) de imagem de A pela função f. Observe que f(A) ⊂ Im(f) ⊂ Y.

Outro conceito usado na questão é o de pré imagem de um conjunto. Dado um conjunto V ⊂ Y, definimos f⁻¹(V) por:

f⁻¹(V) = { x ∈ X; f(x) ∈ V}

Ou seja, f⁻¹(V) é o conjunto dos elementos cuja imagem está em V.

a) A ⊂ f⁻¹ ( f(A) )

O conjunto f(A) é o conjunto de todas as imagens possíveis de elementos de A. Isso quer dizer que se a∈A, então f(a) ∈ f(A). Ou seja, a é um elemento da pré imagem do conjunto f(A). Assim, a ∈ f(A). (figura 1)

b) f(f⁻¹(V) ) ⊂ V

Observe que se y é um elemento de f (W), isso quer dizer que y = f(w) para algum elemento w ∈ W. Ou seja, y é imagem de algum elemento de W. Por outro lado, se W = f⁻¹(V), então todos elementos de w tem como imagem um elemento de V. Ou seja, f(w)∈V. Com isso concluimos que y∈V. Portanto, f(f⁻¹(V) ) ⊂ V. (figura 2)

c) f⁻¹(f(A)) = A

do item a) já sabemos que vale sempre que  A ⊂ f⁻¹(f(A)). Resta então mostrar que A⊃f⁻¹(f(A)) para concluirmos que vale a igualdade. Suponha que  x ∈f⁻¹(f(A)) , queremos concluir  que x está em A. Como x está na pré imagem do conjunto f(A), então f(x) ∈ f(A). Por outro lado, cada elemento de f(A) é imagem de um elemento de A. Ou seja, f(x) = f(a) para algum a∈A. Por fim, supondo f é injetora, a unica possibilidade é x = a e portanto x ∈ A. Logo concluímos que A⊃f⁻¹(f(A)) e assim que A = f⁻¹(f(A))

d) f(f⁻¹(V)) = V

Já sabemos que f(f⁻¹(V)) ⊂ V então resta mostrar que V ⊂ f(f⁻¹(V)). Então seja y um elemento de V. Como estamos supondo f sobrejetora, existe um x∈X tal que f(x) = y. Isso quer dizer que a imagem de x é um elemento de V. Logo, x está na pré imagem de V. Ou seja, x ∈ f⁻¹(V) = W. Mas se x∈W então f(x) está na imagem do conjunto W, ou seja, f(x)∈f(W). Logo, y ∈ f(f⁻¹(V)). Portanto, V ⊂ f(f⁻¹(V)) e assim concluímos que  V = f(f⁻¹(V)).

e) Se f é bijetora, valem as conclusões dos itens c e d.

Como exemplo, considere f: R→ R definida por f(x) = x² e seja A = {-2,0,1} e V={-2,0,1}

Então f(A) =  { f(-2), f(0), f(1)} = {0,1,4}

Assim f⁻¹(f(A)) = f⁻¹ ( {0,1,4} ) = { -2,-1,0,1,2}

Ou seja, A ⊂ f⁻¹(f(A))

Por outro lado, f⁻¹(V) = {-1,0,1}

Portanto, f(f⁻¹(V)) = { f(-1), f(0), f(1)} = {0,1}

Assim, V⊃f(f⁻¹(V))